Probabilités avec 10 dés...

[hammana]

c'est vrai que c'est difficile mème avec la calculatrice car je l'ai fait par multiplication successive de 6,
il y en avait 10 à faire et j'ai compté aussi avec les doigts de ma main gauche pendant que la main droite tapait sur la machine, et mème qu'ensuite j'ai recommencé en faisant 6 puissance 5 que j'ai remultiplié par lui-mème.Beaucoup d'efforts pour moi, mais lorsque la récompense de me tromper en faisant la mème erreur que Chan est là ...

Ce problème est une généralisation de la distriburion binomiale. Si on affecte les variables a,b,c,d,e,f au fait d'amener 1,2 3,4,5,6, et si on calcule (a+b+c+d+e+f)^10 (il y a des sites internet qui donnent la valeur des coefficients du multinôme) on obtient les probabilités des différents cas. par exemple le terme en a^2.b^3.f^5 donne la probabilité d'amener 2 fois1, 3 fois 2 et 5 fois 6. Après, c'est une question de patience.

A noter qu'il revient au même de lancer 10 dés en une seule fois ou un dé 10 fois de suite.

[beagle]

Ce problème est une généralisation de la distriburion binomiale. Si on affecte les variables a,b,c,d,e,f au fait d'amener 1,2 3,4,5,6, et si on calcule (a+b+c+d+e+f)^10 (il y a des sites internet qui donnent la valeur des coefficients du multinôme) on obtient les probabilités des différents cas. par exemple le terme en a^2.b^3.f^5 donne la probabilité d'amener 2 fois1, 3 fois 2 et 5 fois 6. Après, c'est une question de patience.

...

J'aime bien cette façon de voir le problème.

[Dlzlogic]

Bonsoir Hammana,
Un petit programme en C fait cela très bien aussi. L'avantage est qu'on sait ce qu'on fait.
La méthode de Beagle est différente de la mienne, mais aussi légitime. L'intérêt est de constater qu'on arrive au même résultat. D'où une satisfaction normale pour chacun.
Bonne soirée.
Pour ceux que ça intéresse, voila mon source

Code: Tout sélectionner

int main01()
{
  int D[10];
  int Res1=0; // 5 paires différentes
  int Res2=0; // 2 triples différents
  int Res3=0; // 2 quadruples différents + 1 paire
  int Res4=0; // 2 quintuples différents
  randomize();
  int Compte=100000;
  for (int i=0; i<Compte; i++)
  {
    for (int id=0; id<10; id++)
    {
      D[id]=random(6)+1;  // cad de 1 à 6
    }
    int NbPaires=0;
    int NbTriples=0;
    int NbQuadr=0;
    int NbQuint=0;
    int NbIdem[6];
    for (int i=0; i<6; i++) NbIdem[i]=0;
    for (int id=0; id<10; id++)
    {
      NbIdem[D[id]-1]++;
    }
    for (int i=0; i<6; i++)
    {
      if (NbIdem[i] == 2) NbPaires++;
      if (NbIdem[i] == 3) NbTriples++;
      if (NbIdem[i] == 4) NbQuadr++;
      if (NbIdem[i] == 5) NbQuint++;
    }
    if (NbPaires == 5) Res1++;
    if (NbTriples == 2) Res2++;
    if (NbQuadr == 2 && NbPaires == 1) Res3++;
    if (NbQuint == 2) Res4++;
  }   // fin des Compte essais
fprintf(ecr,"Compte=%d NbPaires = %3d NbTriples = %3d NbQuadr = %3d NbQuint = %3d \n",Compte,
             Res1,Res2, Res3, Res4);
fflush(ecr);

  fclose(ecr);
  printf("Res1=%d\n",Res1);
  system("pause");
  return 0;
}


[beagle]

Vi, je pensais à toi aussi lors de la réponse de hammana:
"PS En plus c'est une excellente occasion (ce sujet) de vérifier la répartition des évènements aléatoires."
14h59mn

[chan79]

Bonsoir Hammana,
Un petit programme en C fait cela très bien aussi. L'avantage est qu'on sait ce qu'on fait.
La méthode de Beagle est différente de la mienne, mais aussi légitime. L'intérêt est de constater qu'on arrive au même résultat. D'où une satisfaction normale pour chacun.
Bonne soirée.
Pour ceux que ça intéresse, voila mon source

Code: Tout sélectionner

int main01()
{
  int D[10];
  int Res1=0; // 5 paires différentes
  int Res2=0; // 2 triples différents
  int Res3=0; // 2 quadruples différents + 1 paire
  int Res4=0; // 2 quintuples différents
  randomize();
  int Compte=100000;
  for (int i=0; i<Compte; i++)
  {
    for (int id=0; id<10; id++)
    {
      D[id]=random(6)+1;  // cad de 1 à 6
    }
    int NbPaires=0;
    int NbTriples=0;
    int NbQuadr=0;
    int NbQuint=0;
    int NbIdem[6];
    for (int i=0; i<6; i++) NbIdem[i]=0;
    for (int id=0; id<10; id++)
    {
      NbIdem[D[id]-1]++;
    }
    for (int i=0; i<6; i++)
    {
      if (NbIdem[i] == 2) NbPaires++;
      if (NbIdem[i] == 3) NbTriples++;
      if (NbIdem[i] == 4) NbQuadr++;
      if (NbIdem[i] == 5) NbQuint++;
    }
    if (NbPaires == 5) Res1++;
    if (NbTriples == 2) Res2++;
    if (NbQuadr == 2 && NbPaires == 1) Res3++;
    if (NbQuint == 2) Res4++;
  }   // fin des Compte essais
fprintf(ecr,"Compte=%d NbPaires = %3d NbTriples = %3d NbQuadr = %3d NbQuint = %3d \n",Compte,
             Res1,Res2, Res3, Res4);
fflush(ecr);

  fclose(ecr);
  printf("Res1=%d\n",Res1);
  system("pause");
  return 0;
}


salut
Ca te donne quoi pour la 2 ? (3 triples différents, sans quadruple je suppose)

[beagle]

Choix du chiffre x choix de places:

choix de triples:C(3,6)
on les met où:
C(3,10)xC(3,7)xC(3,4)

choix de tout seul:3
choix de place:1

shaker est x x x x x...

[chan79]

Choix du chiffre x choix de places:

choix de triples:C(3,6)
on les met où:
C(3,10)xC(3,7)xC(3,4)

choix de tout seul:3
choix de place:1

shaker est x x x x x...

tiens, j'ai fait autrement (pour le même résultat ...)
choix du chiffre qui sort une fois 6
choix des chiffres pour les triples C(3,5)
choix de la place pour le tout seul: 10
choix de la place pour un triple C(3,9)
choix de la place pour un autre triple C(3,6)
choix de la place pour le dernier triple 1
on multiplie: 1008000

[Dlzlogic]

salut
Ca te donne quoi pour la 2 ? (3 triples différents, sans quadruple je suppose)

Bonjour Chan,
Dans l'hypothèse, j'avais noté 2 triples, mais je viens de relire que c'est 3 triples.
J'ai refait un jeu, le résultat est 165/10000.
Je ferai les 9 autres tout à l'heure pour avoir une moyenne plus sûre.
Oui, mes test sont faits avec == mais pourquoi refuser le 10è dé ?
En fait je comprends la question, mais je suis pas sûr de la réponse. Je pense que s'il y a un quadruple, il n'est pas compté comme triple. En effet, je teste "exactement 3 pour faire on triple".
Les jeux, ça me branche pas trop.

[chan79]

Bonjour Chan,
Dans l'hypothèse, j'avais noté 2 triples, mais je viens de relire que c'est 3 triples.
J'ai refait un jeu, le résultat est 165/10000.

oui, effectivement, la proba exacte est 1008000/6^10=0.01667...

[beagle]

tiens, j'ai fait autrement (pour le même résultat ...)
choix du chiffre qui sort une fois 6
choix des chiffres pour les triples C(3,5)
choix de la place pour le tout seul: 10
choix de la place pour un triple C(3,9)
choix de la place pour un autre triple C(3,6)
choix de la place pour le dernier triple 1
on multiplie: 1008000

vi, quand j'ai écrit la réponse je me suis demandé si cela ne serait pas plus économique de fixer le tout seul en premier, mais bon c'était lancé, cela ne semble pas se jouer à une grande différence au niveau calcul.

au final Dlzlogic, chan et beagle programment tous en C, non?

[beagle]

"Les jeux, ça me branche pas trop."

mais on ne joue pas, derrière ce calcul, sous son pseudo hamdi travaille dans une centrale nucléaire,
et pour éviter l'accident il a des choix à faire, ouvrir le robinet 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6.
T'as jamais visité une centrale avec ses 6 tuyaux?
Il faut calculer la meilleure chance de refroidir le truc, alors est-ce en ouvrant tout par deux ou en ouvrant par 3?
Si tu ne vois pas la goutte qui perle sur le front de hamdi,
si tu ne prends pas en compte le role que tu joues dans la société Dlzlogic,
comment crois-tu que les jeunes deviendront des adultes sérieux ...

[fatal_error]

de maniere generale,

dans la main a 10:
xxxxxxxxxxx
mettons quon veut les quadruples 3,4 a placer
3 a 10 poss, puis 9 puis 8, puis 7
4 a 6 poss, etc...

on a donc C(4, 10)*C(4,10-4) possibilites des chiffres restant (yen a 2) (==>6^2)

de maniere generale pour un n-uplon (double, triple, etc)
on a n*k valeurs a placer de maniere determinee, avec k le nombre de n u plon qui tienne dans 10.

le denombrement des mains vaut C(k,6)R(n)*6^(10-kn) ou k=E(10/n)

la proba de n uplon etant p(n)=C(k,6)R(n)/6^(kn)

avec
en particulier

p(2)= 0.011252572016460904
p(3)= 0.03334095412284713
p(4)= 0.02813143004115226

[hamdi369]

Je vous remercie tous pour vos réponses ( d'autant plus que c'est la première fois que j'écris sur un forum).

je me rends compte que le problème est encore plus complexe que je ne le pensais.
Pour ce qui est des triplé le dernier dé, celui qui est seul ne doit pas etre identique aux autre numéros ( des triplés) sinon on a 2 triplés et 1 quadruplé.

C'est vrai c pour un projet de jeu, mais j'ai comme même des sueur comme dit Beagle car les combinaisons permettent de départager les joueurs, de leur allouer des privilèges, des droits, des bonus (qui a le droit ou pas de gouverner sa communauté, qui doit quoi à qui..., ) ce n'est pas la centrale nucléaire mais le scenario du jeu en depend...

je constate juste que le 5x 2 paires est assez fréquent.
le 3 triple et deja plus rare...

maintenant j'ose même plus vous demander avec 10 dés quelle est la probabilité d'obtenir une "grande pyramide" c'est à dire :
1 seul fois le 1, 2 fois le 2, 3 fois le 3, et 4 fois le 4

( pour info une pyramide c'est
nimporte quel chiffre seul, une paire, un triple et un quadruple.)

je comprends pas vos formule, je dois prendre des leçons d'abord

Je vous remercie tous pour vos réponses et pour le temps que vous avez consacré à ce problème.

[beagle]

"je comprends pas vos formule, je dois prendre des leçons d'abord"

Le C est combinaison,
tape google avec "combinatoire wikipedia" je crois, c'est bien fait.
cela sera un peu difficile si jamais fait, et cela va te revenir si tu as déjà fait.
Il y a les permutations, les arrangements, les combinaisons.
le C, c'est:
Si nous tirons sans remise k objets parmi n objets discernables, et nous les disposons sans tenir compte de l'ordre d'apparition, nous pouvons représenter ces k objets par une partie à k éléments d'un ensemble à n éléments
C(3,5) c'est le nombre de combinaisons différentes de 3 éléments piochés dans un ensemble de 5 éléments.

[beagle]

Une fois le C maitrisé cela devrait ètre frisou,
on commence à ètre rodé avec Chan qui me reprendra si gourrance

on prend proba= nombre de cas favorables/nombre de cas total possibles

nombre de favorables:
on multiplie les possibilités de choix de chiffre par la possibilité de choix d'emplacement.

Je place le tout seul:
je dois choisir un chiffre parmi 6 :C(1,6)
je dois choisir sa place parmi 10: C(1,10)
donc des possibles tout seul: C(1,6)xC(1,10)

je place la paire:
je dois choisir un chiffre de paire parmi les 5 chiffres restants: C(1,5)
je choisis un emplacement, deux places parmi 9: C(2,9)

je place le triple:
il me reste en choix de triple un choix parmi 4: C(1,4)
en emplacement j'occupe 3 places sur les 7 emplacements restants: C(3,7)

le quadruplé:
1 choix de chiffre sur 3: C(1,3)
je dois placer mes 4 aux 4 emplacements restants:C(4,4)

voilà tu multiplies tout cela,
et tu divises par les cas possibles le 6 puissance 10

[beagle]

Là où les maths c'est vraiment du bol, tout se tient avec cohérence:

la formule du C(k,n)
ben quand tu choisis C(1,6)
choisir un chiffre parmi 6 , cela tombe juste à 6.

et quand tu fais: je choisis 4 éléments dans 4 possibles, cela fait au miracle juste 1.

[hamdi369]

Magnifique!

C'est moins obscur!
j'ai compris maintenant,


Merci Beagle!!

et merci à Sylviel , Chan, Fatal_error, Dlzlogic et Hammana pour m'avoir aidé!

[hammana]

Là où les maths c'est vraiment du bol, tout se tient avec cohérence:

la formule du C(k,n)
ben quand tu choisis C(1,6)
choisir un chiffre parmi 6 , cela tombe juste à 6.

et quand tu fais: je choisis 4 éléments dans 4 possibles, cela fait au miracle juste 1.

Je fais suite à ma réponse précédente sur l'utilisation du multinome.

Dans l'expression (a+b+c+d+e+f)^10 ou l'on a affecté les probabilité a,b,c,d,e,f aux chiffres 1,2,3,4,5,6 le coefficient de est 10!/(2!*3!*4!)=12600. C'est le nombre de fois ou l'on obtient 1 fois 1, 2 fois 2, 3 fois 3, 4 fois 4.
Si a,b,c,d peuvent prendre n'importe quelles valeurs distinctes, il faut multiplier ce nombre par le nombre d'arrangements sans répétitiion de 6 objets 4 à 4, soit 6!/(6-4)!=360. En divisant par 6^10 on obtient 7.5% qui serait la probabilité d'avoir la grande pyramide.
Merci à ceux qui voudront bien vérifier cette réponse

[fatal_error]

slt hammana, je confirme
C(4,10)*C(3,6)*C(2,3)*C(1,1)=10!/(4!3!2!)
sur les 6, on veut chacune des combinaisons de hauteur différente.
Donc
6*5*4*3 = 6!/2!

le nombre de combinaisons est donc 10!6!/(4!3!2!2!)
la probabilité de la pyramide p=10!6!/(4!3!2!2!)/6^10= 0.07501714677640603

[chan79]

maintenant j'ose même plus vous demander avec 10 dés quelle est la probabilité d'obtenir une "grande pyramide" c'est à dire :
1 seul fois le 1, 2 fois le 2, 3 fois le 3, et 4 fois le 4

(

salut
pour la "grande pyramide"
cas favorables
méthode beagle (le tout seul est le 1, la paire avec deux 2 etc...)
C(1,10)*C(2,9)*B(3,7)=10*36*35=12600
méthode hammana
= =10*9*7*5*4=12600
donc une proba de 0.00020838