Sphère et cylindre

[Luc]

Moi je trouve

Du coup c'est plus que 1/2, ça me parait un peu trop gros pour être bon...

[Luc]

Mon programme de CAO me donne une valeur très proche: r/R = 0.40397
Avec une sphère de 5cm, il annonce un volume retiré (cylindre à l'intérieur de la sphère et les deux calottes) d'environ 261.8 cm3.

Mais, ne me demandez pas comment il fait son calcul. J'imagine par une méthode itérative basée sur un nombre important d'éléments finis.

Bon donc on va dire que mon résultat est bon alors
edit : ou pas :we:

[Mathusalem]

Du coup c'est plus que 1/2, ça me parait un peu trop gros pour être bon...

Et pourtant, c'est moi qui ai raison apparemment

Code Matlab de la simulation (spéciale cass-dédi Dlzlogic) :

Code: Tout sélectionner

Mavaleur = 0.6083;

Rcyl = Mavaleur*Mavaleur; % Rayon au carre de la section cylindrique
Rsph = 1; % Rayon au carre de la sphere (norm a 1)
Nombrepoints = 201;

% On cree un reseau cubique (-1,1)^3 de Nombrepoints^3 points
x = zeros(1,Nombrepoints);
y = zeros(1,Nombrepoints);
z = zeros(1,Nombrepoints);


for i=1:Nombrepoints
    x(i) = -1 + 2*(i-1)/(Nombrepoints-1)  ;
    y(i) = -1 + 2*(i-1)/(Nombrepoints-1) ;
    z(i) = -1 + 2*(i-1)/(Nombrepoints-1) ;
end
%=============================

countersph= 0; %Comptabilise le nombre de points dans la sphère

countersphcyl= 0; %Comptabilise le nombre de points dans la sphère et le cylindre.



% Verifie que chaque point est dans la sphere, puis sphere et cylindre.
for k = 1:Nombrepoints
    for l = 1:Nombrepoints
        for j = 1:Nombrepoints
           
            checksph = x(k)*x(k) + y(l)*y(l) + z(j)*z(j);
            checkcylr = x(k)*x(k) + y(l)*y(l);
           
            if checksph <= Rsph
               
                countersph = countersph+1;
            end
         
            if checksph <= Rsph && checkcylr <= Rcyl
                countersphcyl = countersphcyl + 1;
            end
           
        end
    end
end

countersphcyl/countersph % = 0.49999 = 1/2
                                 

Le code crée un réseau cubique (-1,1)^3. Ensuite, je check que chaque point (triple boucle) soit bien à l'intérieur d'une sphère de rayon 1 (x^2+y^2+z^2 < 1)
puis à l'intérieur du cylindre (x^2+y^2 < r/R^2)
On pourrait prendre y^2 + z^2 ou z^2 + x^2, c'est égal.

Ensuite, je regarde le rapport entre le nombre de points dans la sphère et le cylindre, et le nombre de points dans la sphère. Ça donne bien 0.5 comme demandé par la donnée.

La valeur de 0.4039 plus haut donne un rapport de 1/4 entre les volumes.

[nuage]

Salut.
C'est quand même un problème niveau lycée :
-1- calcul d'une intégrale
-2- résolution d'une équation simple.

Vous sombrez dans le délire.

[chan79]

Moi je trouve

Détail :

On pose z^2 = 1 - (r/R)^2
Alors, le volume des deux calottes est
V_2cal = 2pi/3 R^3 ( 2 - 3z + z^3 )
Le volume du cylindre de rayon r entre les deux calottes vaut
V_cyl = 2pi r^2 R z

Et on veut V_2cal + V_cyl = 2pi/3 R^3
d'où r/R = sqrt(1-1/2^(2/3))

C'est bien mon résultat !
On exprime en fonction de r et de R le volume de bois enlevé (un cylindre et deux calottes) et on écrit que ça fait la moitié du volume de la sphère.
On tombe sur l'équation 2 x³ = R³ en posant x =
Pas besoin de calculer d'intégrale avec cette méthode

[Mathusalem]

Salut.
C'est quand même un problème niveau lycée :
-1- calcul d'une intégrale
-2- résolution d'une équation simple.

Vous sombrez dans le délire.

C'est un moyen comme un autre de vérifier un résultat. Ça prend 2 minutes, loin d'un délire.

[C.Ret]

La valeur de 0.4039 plus haut donne un rapport de 1/4 entre les volumes.

Dommage, je ne suis plus à porté d'un système de CAO.
Mais le fait qu'il y ai un facteur 2 dans le volume me fais suspecter un problème potentiel.
Il va falloir attendre la fin de la semaine prochaine pour que je puisse vérifier.


Mais, je ne suis pas persuadé qu'avec r ~ 60% de R on enlève que la moitié du volume de la sphère. Retirer 60% c'est quand même un grand trou ! N'oublions pas que l'on traverse toute la sphère.

Je trouvais que ~40% était plus dans des proportions intuitives.


Les volumes s'obtiennent par une rotation d'un demi-tour sur l'axe de symétrie longitudinal.

[chan79]

C'est un moyen comme un autre de vérifier un résultat. Ça prend 2 minutes, loin d'un délire.

Voici mes calculs
Merci de me signaler les éventuelles erreurs
voici une coupe
A est le centre de la sphère
[img][IMG]http://img228.imageshack.us/img228/5348/coupef.png[/img][/IMG]
volume d'une calotte V= avec x=AB=
volume du cylindre
il faut donc résoudre
2+ =
en simplifiant et en remplaçant r² par R²-x²
(R-x)²(2R+x)+3x(R²-x²)=R³
On développe, on simplifie et on a (coup de bol: les x² et les x disparaissent)
R³=2x³ ce qui mène au résultat

[C.Ret]

Ca y est j'ai compris où est mon erreur. La symétrie axiale ne permet pas de raisonner sur les aires du plan générateur (car la périphérie du carcle va créer lors de la rotation plus de volume que les point plus proche de centre). Ce qui explique aussi pourquoi j'obtiens la même valeur erronée que Luc.


Effectivement, le bon rapport est celui qui me paraissait le moins intuitif, r/R = 60.83 %.

Concernant le calcul fait par chan, je n'ai pas utilisé la même formule pour le volume descalottes sphèriques. J'obtiens apparament même le résultat. Il n'y aurait donc pas d'erreur.

Je vous prie donc d'accepter mes excuses et je suis désolé.

Comme quoi ce petit excercice a du bon. Il m'a permis de revoir ma géométrie 3D (Il faudra aussi que je vérifie deux ou trois truc sur Catia et sur sa façon de générer les objets 3D, il doit y avoir là aussi un ou deux trucs qui m'échappe !

En attendant, j'ai trouvé un peu de lecture : Les théorèmes de Guldin et le volume engendré par la révolution d'un élément de surface plane autour d'un axe situé dans son plan.

[chan79]

Je vous prie donc d'accepter mes excuses et je suis désolé.

Franchement, il n'y a pas à s'excuser. On fait tous des erreurs et elles font souvent avancer :lol3:

[chan79]

[quote="chan79"]QUOTE]
une autre méthode
On peut calculer directement en fonction de r et R le volume de sphère restant, que l'on considère comme la somme des volumes de pavés droits enroulés (en rouge) autour du cylindre et d'épaisseur infinitésimale
[img][IMG]http://img823.imageshack.us/img823/787/sphf.png[/img][/IMG]
Une fois enroulé, le rayon y varie donc de r à R.
Le volume est =
Il faut que

[chan79]

[quote="chan79"][/quote]
une autre méthode sur laquelle j'ai des doutes mais elle mène au résultat
On peut calculer directement en fonction de r et R le volume de sphère restant, que l'on considère comme la somme des volumes de pavés droits enroulés (en rouge) autour du cylindre et d'épaisseur infinitésimale dy
[img][IMG]http://img823.imageshack.us/img823/787/sphf.png[/img][/IMG]
Une fois enroulé, le rayon y du cylindre obtenu varie donc de r à R.
Le volume est =
Il faut que





On peut aussi avoir le volume restant par cette intégrale triple (coordonnées cylindriques)
en prenant oz pour l'axe du cylindre

ce qui donne la même intégrale que précédemment

[Luc]

une autre méthode sur laquelle j'ai des doutes mais elle mène au résultat
On peut calculer directement en fonction de r et R le volume de sphère restant, que l'on considère comme la somme des volumes de pavés droits enroulés (en rouge) autour du cylindre et d'épaisseur infinitésimale dy

Exact, c'est ce que j'ai fait en 2ème méthode, et effectivement elle aboutit au bon résultat.

Luc

[Kikoo <3 Bieber]

:hein: C'est de quel niveau, ce truc?

:triste:

fin Terminale S ^^

Et maths-sup/maths-spé pour les intégrales triples...

[nuage]

On peut résoudre ce problème en connaissant la formule donnant le volume d'un solide de révolution.
C'est au programme des terminales STI et STL.
Il n'y a aucun besoin d'intégrale triple, ni même de calculs compliqués.

[Mortelune]

Même si derrière les formules de volume, qui peuvent être admises, se cache de l'intégration :happy3:

[chan79]

Il n'y a aucun besoin d'intégrale triple, ni même de calculs compliqués.

oui, bien-sûr, j'ai mis plus haut une méthode où on utilise seulement la formule du volume d'une calotte sphérique.
Comme l'a suggéré C.Ret, on peut aussi calculer le volume de bois restant avec le théorème de Guldin mais le calcul est long et fastidieux. Il faut déterminer la position d'un centre de gravité ...

[Dlzlogic]

oui, bien-sûr, j'ai mis plus haut une méthode où on utilise seulement la formule du volume d'une calotte sphérique.
Comme l'a suggéré C.Ret, on peut aussi calculer le volume de bois restant avec le théorème de Guldin mais le calcul est long et fastidieux. Il faut déterminer la position d'un centre de gravité ...

Je rebondis sur le théorème de Gulden ou Guldin.
Dans un contexte de Travaux Public, des gens qui avaient trop lu d'articles sur Wiki on voulu faire appliquer cette méthode pas un bureau d'étude. Ca m'a fait faire un calcul intéressant, mais c'est l'exemple type de ce qu'il ne faut pas faire et c'est un des effets négatif d'une vulgarisation incontrôlée.

[Doraki]

apprendre un nouveau truc c'est l'exemple type de chose qu'il ne faut pas faire ?