à propos de cylindre et d'ellipse

[gismo]

Bonjour,

Prenons un cylindre, en papier par exemple, coupons le "en biais", le plan de coupe est une ellipse.
Ouvrons ce "sifflet" au niveau d'un des sommets de l'ellipse pour le déplier.

La partie courbe à plat est fonction de l'angle du "biais" et du diamètre du cylindre, quelle est l'équation de cette partie courbe?

Je ne sais pas si le sujet est un défi ou si la réponse est connue mais je suis incapable de trouver seul et/or j'aimerais bien savoir.

Merci d'avance, Jérôme.

[DamX]

Hello,

J'espère ne pas dire de boulette, je fais ca de tête.

Déjà tu peux trouver facilement les paramètres de l'ellipse si ton cylindre est de rayon r, et ton biais, ta coupe fait un angle theta par rapport a l'horizontal(cas ou la section est un cercle). Tu vas avoir le petit rayon qui vaudra r, et le grand r/Cos(theta).

Mais bon pour la suite je vois le problème autrement.

Ton cylindre d'axe Oz. Ta coupe sera faite selon le plan z=z0+ax. C'est le coefficient a qui repérante ton biais, et qui vaut tan(theta), en reprenant la definition du dessus.

donc tu vas déplier ton sifflet par rapport au point de x minimal (le bas du sifflet) qui correspond a un angle polaire dans le plan Oxy phi = 0. en phi=-pi tu est en haut du sifflet, idem en +pi. En phi, tu te trouves donc sur le point de coordonnées x = x0 - cos(phi) (pour que x soit minimal en phi=0), et y = y0 + sin(phi). Du coup comme on est sur le plan de la coup, on a z= z0+a(x0-Cos(phi)) = C - a.Cos(phi)

Et comme ton depliement associe exactement le phi comme abscisse de ta courbe. Du coup la fonction de ta courbe doit être : f(phi) = C - tan(theta)Cos(phi), avec phi entre -pi et pi, et theta est l'angle de la coupe. Et ca ne dépend pas du rayon r du cylindre

Damien

[chan79]

Salut
Pour un cylindre d'axe horizontal et de rayon 1, et un angle de coupe de t=45° avec l'horizontale, j'ai le "patron" ci-dessous
la courbe a comme équation
on rajoute la symétrique par rapport à l'axe des x.
A partir de l'équation du cylindre et du plan de coupe, on calcule la longueur d'un certain arc de cercle...(c'est un peu long à détailler)

[gismo]

Je reprends le problème après une petite pose.

Je ne comprends pas comment l'ellipse dépendrait du r du cylindre (tes premières lignes) et ta conclusion "Et ça ne dépend pas du rayon r du cylindre".
Merci quand même pour cette contribution, mon niveau en math me fait pencher pour la proposition de chan79 qui me parle plus.

Hello,

J'espère ne pas dire de boulette, je fais ca de tête.

Déjà tu peux trouver facilement les paramètres de l'ellipse si ton cylindre est de rayon r, et ton biais, ta coupe fait un angle theta par rapport a l'horizontal(cas ou la section est un cercle). Tu vas avoir le petit rayon qui vaudra r, et le grand r/Cos(theta).

Mais bon pour la suite je vois le problème autrement.

Ton cylindre d'axe Oz. Ta coupe sera faite selon le plan z=z0+ax. C'est le coefficient a qui repérante ton biais, et qui vaut tan(theta), en reprenant la definition du dessus.

donc tu vas déplier ton sifflet par rapport au point de x minimal (le bas du sifflet) qui correspond a un angle polaire dans le plan Oxy phi = 0. en phi=-pi tu est en haut du sifflet, idem en +pi. En phi, tu te trouves donc sur le point de coordonnées x = x0 - cos(phi) (pour que x soit minimal en phi=0), et y = y0 + sin(phi). Du coup comme on est sur le plan de la coup, on a z= z0+a(x0-Cos(phi)) = C - a.Cos(phi)

Et comme ton depliement associe exactement le phi comme abscisse de ta courbe. Du coup la fonction de ta courbe doit être : f(phi) = C - tan(theta)Cos(phi), avec phi entre -pi et pi, et theta est l'angle de la coupe. Et ca ne dépend pas du rayon r du cylindre

Damien

[gismo]

Bonjour,

Malheureusement mon rayon ne fait pas 1 mais r, dès lors comment deviendrait l'équation de la courbe?

Je crois que je vais "faire" par les longueurs d'arc de cercle que tu mentionnes à la fin.
Si j'ai compris cette allusion, à chaque point de l'ellipse correspond une corde (demi corde) du cercle générateur du cylindre, on calcule la longueur de l'arc correspondant et le tour est joué!?
Ca me plait.
Cordialement, J.L.

Salut
Pour un cylindre d'axe horizontal et de rayon 1, et un angle de coupe de t=45° avec l'horizontale, j'ai le "patron" ci-dessous
la courbe a comme équation
on rajoute la symétrique par rapport à l'axe des x.
A partir de l'équation du cylindre et du plan de coupe, on calcule la longueur d'un certain arc de cercle...(c'est un peu long à détailler)

[chan79]

Bonjour,

Malheureusement mon rayon ne fait pas 1 mais r, dès lors comment deviendrait l'équation de la courbe?

Je crois que je vais "faire" par les longueurs d'arc de cercle que tu mentionnes à la fin.
Si j'ai compris cette allusion, à chaque point de l'ellipse correspond une corde (demi corde) du cercle générateur du cylindre, on calcule la longueur de l'arc correspondant et le tour est joué!?
Ca me plait.
Cordialement, J.L.

C'est bien la méthode que j'ai utilisée.
On peut mettre r au lieu de 1; ça ne complique pas beaucoup.
J'ai pris l'axe du cylindre parallèle à Ox et passant par I(0,0,r)
Ci-dessous une coupe du cylindre par le plan contenant son axe et (Ox).
La droite verte appartient au plan de l'ellipse qui contient aussi Oy.
Le vecteur est normal au plan de l'ellipse..

[DamX]

Je reprends le problème après une petite pose.

Je ne comprends pas comment l'ellipse dépendrait du r du cylindre (tes premières lignes) et ta conclusion "Et ça ne dépend pas du rayon r du cylindre".
Merci quand même pour cette contribution, mon niveau en math me fait pencher pour la proposition de chan79 qui me parle plus.

Hello, ça ne dépend pas parce que j'ai pris comme abscisse l'angle, si tu veux prendre comme abscisse la longueur le long du tour du cylindre, la formule devient :
, x en unité de longueur qui parcourt le périmètre de la base du cylindre.



Sauf que, comme ça ne ressemble absolument pas à ce qui est proposé par Chan (ça a vaguement l'air de la réciproque) et que je ne comprends pas d'où sort sa proposition, je dois avoir une mauvaise compréhension du problème, je pensais que le but était de récupérer l'altitude du point de la coupe en fonction du point de la base du cylindre (le x entre -pir et pir donc) mais ça doit être autre chose que tu recherches.

Damien

[chan79]

Sauf que, comme ça ne ressemble absolument pas à ce qui est proposé par Chan (ça a vaguement l'air de la réciproque) et que je ne comprends pas d'où sort sa proposition, je dois avoir une mauvaise compréhension du problème, je pensais que le but était de récupérer l'altitude du point de la coupe en fonction du point de la base du cylindre (le x entre -pir et pir donc) mais ça doit être autre chose que tu recherches.

Damien

J'ai l'impression qu'on a fait la même chose, mon stylo est parallèle à l'axe des x, le tien à l'axe des z.

[gismo]

Bonjour,

J'avais parlé de "déplier" (cylindre de départ en papier) le sifflet obtenu après la coupe pour connaître le profil mis à plat (il n'y a que cette partie qui m'intéresse, ce qui reste cylindrique non).
Or selon qu'on ouvre ledit sifflet à un sommet de l'ellipse ou à l'autre on obtient dans un cas un profil mâle et dans l'autre un profil femelle, c'est peut-être là l'origine de vos différences?

Hello, ça ne dépend pas parce que j'ai pris comme abscisse l'angle, si tu veux prendre comme abscisse la longueur le long du tour du cylindre, la formule devient :
, x en unité de longueur qui parcourt le périmètre de la base du cylindre.



Sauf que, comme ça ne ressemble absolument pas à ce qui est proposé par Chan (ça a vaguement l'air de la réciproque) et que je ne comprends pas d'où sort sa proposition, je dois avoir une mauvaise compréhension du problème, je pensais que le but était de récupérer l'altitude du point de la coupe en fonction du point de la base du cylindre (le x entre -pir et pir donc) mais ça doit être autre chose que tu recherches.

Damien

[chan79]

J'ai supposé qu'on découpe selon la ligne bleue en pointillés et qu'on déplie pour étaler sur le plan xoy.
L'axe des x est en rouge
L'axe des y est en vert

[gismo]

J'ai supposé qu'on découpe selon la ligne bleue en pointillés et qu'on déplie pour étaler sur le plan xoy.
L'axe des x est en rouge
L'axe des y est en vert

Oui c'est bien ça. Si on découpe en O je suppose qu'on a juste une autre période de la sinusoïde mais que l'équation reste la même.
(mon problème EXACT est (sur ton dessin): on découpe en O et on déplie sur un plan parallèle à xoy passant par la ligne bleue mais avec tout ce que vous m'avez déja apporté je dois pouvoir m'en sortir)

Dans ton y=2arcsin(1/2racine(2xtg(t))) si rayon cylindre = r au lieu de 1 on a y=2arcsin(r/2racine(2xtg(t)))?

[chan79]

Oui c'est bien ça. Si on découpe en O je suppose qu'on a juste une autre période de la sinusoïde mais que l'équation reste la même.
(mon problème EXACT est (sur ton dessin): on découpe en O et on déplie sur un plan parallèle à xoy passant par la ligne bleue mais avec tout ce que vous m'avez déja apporté je dois pouvoir m'en sortir)

Dans ton y=2arcsin(1/2racine(2xtg(t))) si rayon cylindre = r au lieu de 1 on a y=2arcsin(r/2racine(2xtg(t)))?

non, avec r au lieu de 1, on a:

[chan79]

Dans ton y=2arcsin(1/2racine(2xtg(t))) si rayon cylindre = r au lieu de 1 on a y=2arcsin(r/2racine(2xtg(t)))?

avec r, j'ai


à vérifier

[chan79]

Dans ton y=2arcsin(1/2racine(2xtg(t))) si rayon cylindre = r au lieu de 1 on a y=2arcsin(r/2racine(2xtg(t)))?

[chan79]

(mon problème EXACT est (sur ton dessin): on découpe en O et on déplie sur un plan parallèle à xoy passant par la ligne bleue mais avec tout ce que vous m'avez déja apporté je dois pouvoir m'en sortir)

alors



vue de dessus en dépliant à ta façon

[Ben314]

Salut,
Je ne comprend pas trop ce que vous faîtes comme calcul : il est (relativement) connu que si on coupe un cylindre en suivant un plan, le patron du cylindre (i.e. le cylindre déroulé) a son coté correspondant à la découpe en forme de sinusoïde :
La fonction qui, à un point du plan, associe le point de l'espace correspondant à "enrouler" le plan pour former un cylindre de rayon r autour de l'axe des z est (x,y) -> ( X=r.cos(x/r) , Y=r.sin(x/r) , Z=y).
Si on coupe le cylindre de R^3 suivant le plan (non vertical) Z=a.X+b.Y, dans le plan de départ, ça correspond à
y=a.r.sin(x/r)+b.r.cos(x/r) qui est l'équation d'une sinusoïde.

Si vous êtes pas convaincus, imprimez une sinusoïde quelconque sur une feuille sur un peu plus d'une péridode, découpez la feuille et enroulez...

[gismo]

Bonjour,

Tout est dans ton "relativement"! C'est à dire que quand on ne sait pas, ce qui est mon cas, on dois tout "réinventer"...
Merci pour les compléments.

Salut,
Je ne comprend pas trop ce que vous faîtes comme calcul : il est (relativement) connu que si on coupe un cylindre en suivant un plan, le patron du cylindre (i.e. le cylindre déroulé) a son coté correspondant à la découpe en forme de sinusoïde :
La fonction qui, à un point du plan, associe le point de l'espace correspondant à "enrouler" le plan pour former un cylindre de rayon r autour de l'axe des z est (x,y) -> ( X=r.cos(x/r) , Y=r.sin(x/r) , Z=y).
Si on coupe le cylindre de R^3 suivant le plan (non vertical) Z=a.X+b.Y, dans le plan de départ, ça correspond à
y=a.r.sin(x/r)+b.r.cos(x/r) qui est l'équation d'une sinusoïde.

Si vous êtes pas convaincus, imprimez une sinusoïde quelconque sur une feuille sur un peu plus d'une péridode, découpez la feuille et enroulez...

[chan79]

voir ICI une animation (voir n=1)

j'avoue que je ne connaissais pas :triste:

[gismo]

Superbe, merci.