Sphere inscrit dans un cône

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Thiéfaine
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Sphere inscrit dans un cône

par Thiéfaine » 24 Oct 2022, 09:55

Bonjour,
le problème suivant me laisse perplexe:

Dans un cône droit de hauteur 4 dont le rayon de la base est 3, est inscrite une sphère tangente à la base et à la surface latérale. Quelle est la longueur du cercle de contact de la sphère avec la surface latérale ?



lyceen95
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Re: Sphere inscrit dans un cône

par lyceen95 » 24 Oct 2022, 11:24

Une sphère dans un cône.
Si je dis que c'est exactement comme un disque dans un triangle, est-ce qu'on est d'accord ? Et quels arguments me font dire ça ?
Ensuite, tu fais un dessin, tu repères les angles droits qu'il y a dans ce dessin, tu repères des triangles semblables. (tu sais ce que c'est, 2 triangles semblables ?)
Et je pense que tu vas arriver à une équation du 2nd degré.
Avec les connaissances de lycée, on sait faire.
Avec des connaissances de collège, il y a peut-être des simplifications qui vont conduire à des équations simples, je n'ai pas fait le dessin, ni les calculs. Peut-être qu'on peut trouver la solution avec les outils du collège.

Mais une chose est sure, la première étape est de faire un dessin, en respectant à peu près les proportions.

Thiéfaine
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Re: Sphere inscrit dans un cône

par Thiéfaine » 24 Oct 2022, 12:37

Je comprend le cercle inscrit dans un triangle, on peut le regarder de côté.

Image

Le côté du grand triangle vaut 5 (Pythagore).
Je pose la partie haute de la hauteur.

Les deux seuls triangles ici sont semblables, donc:


La dernière étant obtenue avec Pythagore dans le triangle de côté et .

Mais en fin de compte, je pense que cela ne sert pas.
Pouvez-vous m'éclairer ?

lyceen95
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Re: Sphere inscrit dans un cône

par lyceen95 » 24 Oct 2022, 12:47

Ici, tu n'exploites pas le fait que le truc 'rond' au milieu' , c'est un disque. Si c'est un ovale, ce que tu as fait reste valable.
Place le centre du disque. Dessine les 2 rayons 'particuliers' qui peuvent être intéressants. Ils sont même très intéressants.
Et nomme les différents points, parce que là, c'est difficile de vérifier si on parle de la même chose.
Quand j'ai un triangle ABC, et que A,B,C apparaissent sur le dessin, j'arrive à suivre.
Mais sinon, je n'ai pas envie de faire l'effort.
Ta formule x/6=a/4 par exemple, je ne sais pas trop te dire si elle est bonne, j'ai trop de doutes sur le rôle de a, et celui de x.

Et je dessinerais juste la partie droite du dessin. La partie gauche fait double emploi.

Pisigma
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Re: Sphere inscrit dans un cône

par Pisigma » 24 Oct 2022, 13:20

Bonjour,

soient = rayon de la base du cône, = hauteur du cône et = rayon de la sphère inscrite dans le cône

sauf erreur de ma part, tu devrais trouver


Thiéfaine
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Re: Sphere inscrit dans un cône

par Thiéfaine » 24 Oct 2022, 13:41

Merci Pisigma pour ton aide,
j'ai modifié (l'image est grande, je ne sais pas comment la réduire):
Image

Je pose x le rayon du cercle dont on souhaite la circonférence, donc l'inconnue à trouver.

Avec ta formule Pisigma, on connait . Peux tu d'ailleurs expliciter d'où elle vient ?

Je pense qu'on peut faire sans, il doit y avoir plus simple.

Je reste perplexe sur la suite.
Modifié en dernier par Thiéfaine le 24 Oct 2022, 17:25, modifié 3 fois.

Pisigma
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Re: Sphere inscrit dans un cône

par Pisigma » 24 Oct 2022, 14:09

je trouve

le centre du cercle est à l'intersection de la bissectrice de l'angle A et [BC]

=l'angle que fait la bissectrice de l'angle avec





il suffit alors d'utiliser la relation en fonction de

Thiéfaine
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Re: Sphere inscrit dans un cône

par Thiéfaine » 24 Oct 2022, 15:51

Je reste ouvert à toute explication, peu m'importe que le rayon aie cette longueur si ça n'aide pas pour le problème..

Pisigma
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Re: Sphere inscrit dans un cône

par Pisigma » 24 Oct 2022, 15:57

je ne comprends pas ce que tu veux en plus, la méthode que je propose est basée sur 2 triangles rectangles

dans ton cas, on a





une formule de trigo et c'est fini!

après développement on arrive à

Thiéfaine
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Re: Sphere inscrit dans un cône

par Thiéfaine » 24 Oct 2022, 17:24

Je ne cherche pas le rayon du cercle inscrit au triangle.
Je cherche x, qui est, par rapport au problème initialement posé, le rayon du cercle de contact avec le cône dont on souhaite la circonférence.
Mais merci quand même d'avoir présenté cette propriété, ça fait toujours plus de connaissances.

Pour préciser, le problème doit être résolu sans calculatrice.

Pisigma
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Re: Sphere inscrit dans un cône

par Pisigma » 24 Oct 2022, 17:53

Ok; j'avais compris que tu cherchais le rayon du cercle inscrit ; au temps pour moi (sur smartphone ce n'est pas toujours évident de scroller)

Pour préciser, le problème doit être résolu sans calculatrice.


ça signifie que tu cherches une formule mais pas une valeur de x?

Pisigma
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Re: Sphere inscrit dans un cône

par Pisigma » 24 Oct 2022, 18:37

en relisant sur mon PC, je remarque que j'ai pris un rayon de la base=1.5 au lieu de 3, sorry

lyceen95
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Re: Sphere inscrit dans un cône

par lyceen95 » 24 Oct 2022, 18:54

Ton dessin n'est pas du tout à l'échelle, et je pense que ça ne facilite pas. Je pense que tu as pris AC=1.5, et non AC=3 pour faire ton dessin.

Le triangle BOD est semblable au triangle BAC
Et donc OD/BO=3/5
par ailleurs BO+OD=BO+OC=4 , et donc, on trouve rapidement r=3/2
On connaît le rayon de la sphère. Reste à trouver x. Je te laisse chercher, c'est très simple également.

Les calculs de Pisigma me semblent faux, je pense qu'il s'est appuyé sur ton dessin (base AC=1.5) et pas sur l'énoncé initial.

Edit : je vois que Pisigma confirme mon hypothèse :)

Thiéfaine
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Re: Sphere inscrit dans un cône

par Thiéfaine » 24 Oct 2022, 19:14

Oui, effectivement, le dessin n'aide pas l'intuition...
J'ai juste pris une image sur Google d'un cercle inscrit dans un triangle et j'ai mis les données. J'aurai dû dessiner à la main ou avec un logiciel.. Par ailleurs, vous en avez un à me conseiller ?

Et oui Pisigma, je cherche la circonférence en fonction de et de racines si il faut.
Modifié en dernier par Thiéfaine le 24 Oct 2022, 20:02, modifié 1 fois.

lyceen95
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Re: Sphere inscrit dans un cône

par lyceen95 » 24 Oct 2022, 19:35

Geogebra est un très bon outil , je le connais peu, mais c'est vraiment très bien. J'ai fait un dessin , mais l'outil que j'utilise habituellement pour charger des images ne fonctionne pas.

https://www.geogebra.org/classic?lang=fr

Pisigma
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Re: Sphere inscrit dans un cône

par Pisigma » 24 Oct 2022, 19:49

@Thiéfaine :la méthode de lyceen est mieux que la mienne car elle est plus géométrique et c'est sans doute ce que que tu cherchais

Thiéfaine
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Re: Sphere inscrit dans un cône

par Thiéfaine » 24 Oct 2022, 20:16

En dessinant proportionnellement, on a:

Image

Mais je ne vois pas ici que les triangles CGO et CAD sont semblables...

Pisigma
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Re: Sphere inscrit dans un cône

par Pisigma » 24 Oct 2022, 20:55

on trouve facilement, sans se lancer dans de longs calculs comme ceux que j'avais écrits ci-dessus, que

d'où par Thalès

je laisserai lyceen95 répondre à ta question

lyceen95
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Re: Sphere inscrit dans un cône

par lyceen95 » 24 Oct 2022, 21:38

Je vais chipoter, CGO est semblable à CDA (et pas à CAD)
Dans CGO, G est l'angle droit, et dans CDA, D est aussi l'angle droit.
Je chipote beaucoup, personne ne t'en tiendra rigueur si tu laisses comme tu as écrit.
Simplement, je pense que pour toi, si tu ordonnes les 3 angles de la même façon dans les 2 triangles, ça demande un petit effort de plus en l'écrivant, mais ça économise beaucoup d'efforts en le relisant.
Il y a un autre triangle semblable à CGO ou CDA, c'est GHO où H est le milieu de FG.

D'ailleurs, remarque assez similaire... il y a ce point H que tu n'as pas nommé en faisant le dessin, et c'est probablement parce que ce point n'a pas été nommé que tu n'as pas vu le triangle en question.
Si on est très rigoureux à chaque étape, la suite s'appuie sur des bases solides. Si on est un peu laxiste à telle ou telle étape (point H pas dessiné, CGO semblable à CAD au lieu de CDA ...), la suite est plus difficile.

Le point F ne nous intéresse pas, c'est uniquement la partie gauche de la figure qui nous intéresse, et donc ce point H.

Thiéfaine
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Re: Sphere inscrit dans un cône

par Thiéfaine » 25 Oct 2022, 14:05

Ok parfait merci.
Thalès est il, à votre sens, la seule manière pour résoudre ce problème rapidement ?

 

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