Longueur de la ligne droite entre deux points sur une sphère

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BorisPetrov
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longueur de la ligne droite entre deux points sur une sphère

par BorisPetrov » 18 Sep 2017, 00:54

Bonjour,

J'ai tourné le problème suivant pendant plusieurs heures en essayant de mobiliser mes souvenirs de Terminale S... sans succès. Pourriez-vous m'aider, s'il vous plaît ? C'est pour un projet artistique.

Soit deux point A et B sur le globe terrestre :
A / Longitude -122,262173 / Latitutde : 37,838059
B / Longitude : 2,376974 / Latitude : 48,877203

La Terre est une sphère de rayon 6371 km.

Quelle est la longueur de la corde, soit la ligne droite (et non l'arc de cercle), qui relie dans l'espace A et B ?

Pourriez-vous me détailler le raisonnement à suivre et, au final, le résultat, s'il vous plaît ?

Un grand merci !



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chan79
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Re: longueur de la ligne droite entre deux points sur une sp

par chan79 » 18 Sep 2017, 06:26

salut
Tu calcules d'abord la longueur de l'arc avec:

La distance mesurée le long d’un arc de grand cercle entre deux points dont on
connaît les coordonnées { lat1,lon1} et {lat2,lon2} est donnée par :

d=R*acos(sin(lat1)*sin(lat2)+cos(lat1)*cos(lat2)*cos(lon1-lon2))
R=rayon de la terre
Tu en déduis l'angle au centre et tu vois avec le sinus (dessine une coupe)
Donne nous ton résultat.

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Ben314
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Re: longueur de la ligne droite entre deux points sur une sp

par Ben314 » 18 Sep 2017, 11:32

Salut,
On peut éventuellement signaler que la formule en question ne sort évidement pas d'un chapeau et est facile à retrouver modulo de savoir que :

1) Le point M (donc le vecteur ) de latitude lat et de longitude lon a pour coordonnées cartésiennes x=R.cos(lat).cos(lon) ; y=R.cos(lat).sin(lon) ; z=sin(lat) [ce qui est évident sur un dessin]

2) Le produit scalaire de deux vecteurs V et V' de coordonnées cartésiennes respectives (x,y,z) et (x',y',z') est
<V|V'> = x.x'+y.y'+z.z' = cos().||V||.||V'|| où est l'angle entre les deux vecteurs (avec bien sûr ||V||=||V'||=R si les vecteurs sont sur la sphère de rayon R)

3) La longueur d'un arc de cercle de rayon R et ayant pour angle au centre (en radian) est (formule qui s'obtient simplement en partant du bien connu "circonférence=2R" et en constatant que la longueur d'un arc est proportionnelle à l'angle au centre)

Sinon, vu que ta question, c'est de déterminer la distance en "vrai ligne droite" (i.e. en creusant un tunnel et pas en restant à la surface de la terre), la formule de Chan n'est pas la bonne (elle donne la distance en restant à la surface).

La formule donnant la distance "en vrai ligne droite" est bien plus simplement celle vue au collège :
avec bien sûr x,y,z et x',y',z' calculé à l'aide des formules du 1)
ou alors si on a déjà calculé à l'aide de 2) l'angle entre les vecteurs, ce qui correspond à la longueur du 3em coté d'un triangle isocèle ayant deux cotés de longueur R faisant un angle de entre eux.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

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chan79
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Re: longueur de la ligne droite entre deux points sur une sp

par chan79 » 18 Sep 2017, 17:08

à tout hasard, un lien pour la longueur de l'arc, histoire de comparer: http://mwlandry.ca/famille/etudes/calcul_distance.htm
La formule que j'avais mise précédemment concernait aussi la longueur de l'arc, comme indiqué.

 

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