Equa diff non linéaire

[Zweig]

Salut,

Un classique laissé à l'attention des Bac + 1 !

Déterminer toutes les fonctions de classe vérifiant :

[Dinozzo13]

Salut !

Sympa ton défi :++:

Après quelque brève recherche, je suis arrivé à la conclusion que devait vérifier :
.

Mais pour l'instant, j'arrive pas à résoudre cette équation différentielle :--:

[Zweig]

C'est en effet la bonne méthode. Je te laisse réfléchir pour résoudre cette équa diff.

[Dinozzo13]

C'est en effet la bonne méthode.

Alors je suis content d'en être arriver là :+++:

Mais justement, je cale sur sa résolution.

[Zweig]

Une petite piste : il y aura un changement de variables à faire. Inspire-toi de la résolution des équa diff linéaires de degré 2, en particulier, la méthode pour obtenir l'équation caractéristique.

[Dinozzo13]

Pour ce genre d'équation, on est censé effectuer un changement de variable avec du ln mais là je vois vraiment pas.
Les coefficients étant non constants, je vais pas résoudre ?

[Zweig]

Pour ce genre d'équation, on est censé effectuer un changement de variable avec du ln mais là je vois vraiment pas.
Les coefficients étant non constants, je vais pas résoudre ?

Pas vraiment. L'idée est, avec un changement de variable, de se ramener à une équation différentiel du second ordre à coefficients constants, que tu sais résoudre.

On suppose x > 0 (le cas x < 0 se traite d'une manière analogue). On pose et . Il s'agit alors de montrer que vérifie une équa diff du second ordre à coefficients constants.

[Olympus]

Salut !

Tu peux restreindre le domaine de travail sur et remarquer [url=http://texify.com/?$\Large \left( y\left( e^t \right) \right)'' - \left( y \left( e^t \right) \right)'=e^{2t} y'' \left( e^t \right)$]ceci[/url] ( lien extérieur au cas où tu ne souhaiterais pas être spoilé Dino :we: )

[Dinozzo13]

Pas vraiment. L'idée est, avec un changement de variable, de se ramener à une équation différentiel du second ordre à coefficients constants, que tu sais résoudre.

On suppose x > 0 (le cas x < 0 se traite d'une manière analogue). On pose et . Il s'agit alors de montrer que vérifie une équa diff du second ordre à coefficients constants.

Ah ! Punaise, en plus, c'est écrit noir sur blanc dans mon bouquin de mpsi :marteau:

Salut !

( lien extérieur au cas où tu ne souhaiterais pas être spoilé Dino :we: )

Pratique, merci :++:

[Zweig]

Ah ! Punaise, en plus, c'est écrit noir sur blanc dans mon bouquin de mpsi :marteau:


Pratique, merci :++:

Du coup, quelle équation vérifie ?

[Dinozzo13]

excuse-moi, je n'avais pas vu que tu avais répondu.

Donc vérifie

[Zweig]

excuse-moi, je n'avais pas vu que tu avais répondu.

Donc vérifie

Non, je veux une équation à coefficients constants, là t'es pas plus avancé avec le terme en exp, qui n'est pas constant ...

[Dinozzo13]

là t'es pas plus avancé avec le terme en exp, qui n'est pas constant ...

oui, c'est pas faux.

Je trouve que doit vérifier , ai-je bon ,

[Zweig]

Oui :lol3:

[Dinozzo13]

Ben du coup c'est fini !

je résous donc ou .

Par contre ce qui m'embête, c'est que je ne sais jamais quelle formule mettre pour la solution générale vue que j'en ai vu plusieurs !

Je mettrai avec .

[Zweig]

Eh bien, si tu as deux solutions complexes (qui sont conjuguées, ) alors les solutions sont données par ou

Ne pas oublier qu'ici, c'est qui est solution est que

[Dinozzo13]

Pas vraiment. L'idée est, avec un changement de variable, de se ramener à une équation différentiel du second ordre à coefficients constants, que tu sais résoudre.

(...) On pose et . Il s'agit alors de montrer que vérifie une équa diff du second ordre à coefficients constants.

Une question me trotte : pourquoi avoir poser ?
Qu'est-ce qui t'a aiguillé vers ce changement de variable ?

[Zweig]

Je pose avec .

Alors,



On cherche t de sorte que les coefficients de l'expression de droite soient constants. En particulier, on cherche t de sorte que , soit , donc .

[Dinozzo13]

J'allais oublier, il faut montrer également que f est de deux fois dérivable non ?

[Olympus]

J'allais oublier, il faut montrer également que f est de deux fois dérivable non ?

L'équation justement te dit que si est de classe , alors il en est de même pour .