bonjour voici un petit exo d'olympiade
il s'agit d'un système non linéaire de 2 équations a trois inconnues entiers
résoudre dans IN^3
a^3-b^3-c^3=3abc
a²=2(b+c)
est ce qu'il y a des idées?? et merci d'avance
Système non linéaire
8 messages
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par Lostounet » 25 Aoû 2013, 00:06
besttrainer a écrit:bonjour voici un petit exo d'olympiade
il s'agit d'un système non linéaire de 2 équations a trois inconnues entiers
résoudre dans IN^3
a^3-b^3-c^3=3abc
a²=2(b+c)
est ce qu'il y a des idées?? et merci d'avance
En exploitant certaines propriétés de ce système (outre les déductions possibles concernant le signe de certaines combinaisons), il est peut-être possible d'en extraire ainsi certaines solutions.
Par exemple, en supposant (on a le droit ? je pencherais pour un oui) que a = c, on peut arriver à c = 2 (potentiellement la troisième solution de Chan).
En supposant a = b = c, on peut aussi trouver le triplet nul.
En supposant b = c, on trouve c = 0...
A voir.
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par Olympus » 25 Aoû 2013, 00:52
Salut !
En te servant de l'identité \left( \left( x-y \right)^2 + \left( y-z \right)^2 + \left( z-x \right)^2 \right))
tu devrais finir vite fait l'exercice ^^
En te servant de l'identité
par chan79 » 25 Aoû 2013, 08:47
Salut
J'ai fait comme ça:
a² est pair donc a également. On pose a=2m
la seconde égalité donne b+c=2m² donc c=2m²-b
Dans la première égalité, on remplace a par 2m et c par 2m²-b
on obtient une égalité qu'on peut considérer comme une équation en b avec m comme paramètre
b^2+(12m^3-12m^4)b+8m^6-8m^3=0)
6m(m-1)b²+12m³(1-m)b+8m³(m-1)(m²+m+1)=0
si m=0 l'égalité est vraie et on a la solution (0,0,0)
si m=1, l'égalité est vraie; on obtient a=2 et b+c=2
ce qui donne (2,0,2) (2,1,1) (2,2,0)
ensuite on simplifie
3b²-6m²b+4m²(m²+m+1)=0
le discriminant réduit est)
soit
c'est négatif donc pas d'autre solution
J'ai fait comme ça:
a² est pair donc a également. On pose a=2m
la seconde égalité donne b+c=2m² donc c=2m²-b
Dans la première égalité, on remplace a par 2m et c par 2m²-b
on obtient une égalité qu'on peut considérer comme une équation en b avec m comme paramètre
6m(m-1)b²+12m³(1-m)b+8m³(m-1)(m²+m+1)=0
si m=0 l'égalité est vraie et on a la solution (0,0,0)
si m=1, l'égalité est vraie; on obtient a=2 et b+c=2
ce qui donne (2,0,2) (2,1,1) (2,2,0)
ensuite on simplifie
3b²-6m²b+4m²(m²+m+1)=0
le discriminant réduit est
soit
c'est négatif donc pas d'autre solution
par Sourire_banane » 25 Aoû 2013, 11:33
Olympus a écrit:Salut !
En te servant de l'identité
J'ai jamais compris comment on pouvait arriver à trouver une factorisation comme ça ! :doh:
par Olympus » 25 Aoû 2013, 13:21
Sourire_banane a écrit:J'ai jamais compris comment on pouvait arriver à trouver une factorisation comme ça ! :doh:
Salut !
Tu peux considérer le polynôme
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