Points antipodaux de même température.

[Zweig]

Très certainement ici : http://www.amazon.com/Elements-Cartography-Arthur-H-Robinson/dp/0471555797/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1322515431&sr=8-1

Sinon je parlais de cours académiques : licence- master

[Kikoo <3 Bieber]

Good night à tous :)

Je voudrais relancer ce sujet ma foi fort intéressant !
Alors nous disposons d'une sphère. Sur cette surface fermée (ça se dit ??) représentant l'ensemble des points antécédents, il existe une fonction T qui à chaque point associe une température donnée.
J'applique directement le TVI (et oui, chuis un pur bourrignos qui quand y sait pas faire, ben il sort les gros outils, et chbim ! :marteau:)...
Mais du coup, comment justifier que deux points au moins prennent la même température et éventuellement la même pression ?

[Elerinna]

Le théorème de Borsuk-Ulam énonce que pour toute f continue d'une sphère de dimension n, il existe deux points antipodaux, c'est-à-dire diamétralement opposés, ayant la même image par f (P et T continues...)

Sinon pour le programme de MP il faut bien reconnaître qu'il n'est pas très vaste... En revanche chaque point est vraiment approfondi. C'est très pratique pour les concours, mais potentiellement critiquable pour la scolarité globale des élèves...

Le programme de mathématiques de CPGE, jugé étroit, subit une rude critique de la part d'enseignants. :id2:

[ffpower]

En fait en dimension n, on suppose f à valeurs dans R^n..autrement dit on dispose de n fonctions continues pas juste 2. Bon ça reste en particulier vrai si ya que 2 fonctions continues, mais pas très intéressant car conséquence du Borsuk Ulam de dim 2..

Et la démo est dure: cela dit, j'avais entendu qu'on pouvait s'en sortir élémentairement en dim 2, mais je me suis pas penché dessus, donc rien de sûr..

[Sylviel]

@Kikoo : si on se contente de montrer que la température est la même en deux points antipodaux il faut effectivement utiliser le TVI, mais je veux bien que tu me montres précisément commen tu fais...

[Elerinna]

Et la démo est dure: cela dit, j'avais entendu qu'on pouvait s'en sortir élémentairement en dim 2, mais je me suis pas penché dessus, donc rien de sûr..

Si, la démo élégante sûre fait appel au groupe fondamental du cercle et tout est là (topologie algébrique).

[Judoboy]

En fait c'est même vrai pour un cercle dans le plan (on peut considérer la fonction qui à un angle théta associe (la température en le point d'angle théta)-(la température en son point antipodal)). Si elle vaut 0 en 0 c'est fini, si elle est supérieure à 0 en 0 elle sera inférieure à 0 en +Pi et le TVI nous permet de conclure.

Résultat on a une infinité de points antipodaux de même température, au moins 2 par "grand" cercle issu de la sphère (construits comme l'intersection de la sphère et d'un plan passant par 0). Après je sais pas si c'est un résultat intéressant.

[Elerinna]

En fait c'est même vrai pour un cercle dans le plan (on peut considérer la fonction qui à un angle théta associe (la température en le point d'angle théta)-(la température en son point antipodal)). Si elle vaut 0 en 0 c'est fini, si elle est supérieure à 0 en 0 elle sera inférieure à 0 en +Pi et le TVI nous permet de conclure.

Cette fonction est impaire et son image est connexe donc elle inclut si .

[Judoboy]

Cette fonction est impaire et son image est connexe donc elle inclut si .

Je suis le seul à absolument rien comprendre à 100% des messages d'Elerinna ?

[Elerinna]

Je suis le seul à absolument rien comprendre à 100% des messages d'Elerinna ?

Relis attentivement le message de 15h18 et le lien Borsuk-Ulam §Dimension un (pour les néophytes).:dodo:

[Skullkid]

Je suis le seul à absolument rien comprendre à 100% des messages d'Elerinna ?

Rassure-toi, je pense qu'on est plusieurs...

Le programme de mathématiques de CPGE, jugé étroit, subit une rude critique de la part d'enseignants.

Ouais, c'était justement de Colmez dont je parlais plus haut dans ce topic. Il met le doigt sur des points intéressants mais, pour l'avoir eu comme prof (certes dans un cadre nettement moins stimulant que la prépa), j'ai du mal à le voir comme un "bon" prof de maths dans une prépa moyenne avec un programme plus lourd que l'actuel...

[Kikoo <3 Bieber]

Salut Sylviel, et salut aux autres :)

Alors justement, je ne sais pas vraiment comment commencer.
L'énoncé de la TVI indique que pour une fonction donnée définie et continue sur un intervalle I, pour tout réel k compris entre les valeurs de f aux bornes de I, alors il existe au moins un réel j appartenant à I tel que f(j)=k.

Alors l'intervalle I, c'est la sphère ? :hum:
Auquel cas, comment fait-on ?

[nodjim]

Pour tenter de répondre à la question initiale de Sylviel, et vu du coté d'un ignare que je suis: Ne peut on envisager que chaque point du globe se trouve à une température distincte de toutes les autres ? Et ça, apparemment, mathématiquement, on sait faire.

[Kikoo <3 Bieber]

Arrêtez-moi si je dis des âneries mais comme une sphère est constituée de points de coordonnées (x,y,z), alors la température sera une fonction de (x,y,z) telle que T=f(x,y,z)...
Comme l'équation de la sphère unité dans un espace à trois dimensions est x²+y²+z²=1, donc un point aura les coordonnées (x0,y0,z0) et le point situé à l'opposé de la sphère aura les coordonnées (-x0,-y0,-z0)... Il faut donc montrer qu'il existe un point au moins de coordonées (x1,y1,z1) appartenant à R^3 tel que f(x1,y1,z1)=f(-x1,-y1,-z1)

C'est bon ? ^^'

[Nightmare]

nodjim > Pas si l'on suppose, à plutôt juste titre, que la température est continue.

[Skullkid]

Arrêtez-moi si je dis des âneries mais comme une sphère est constituée de points de coordonnées (x,y,z), alors la température sera une fonction de (x,y,z) telle que T=f(x,y,z)...
Comme l'équation de la sphère unité dans un espace à trois dimensions est x²+y²+z²=1, donc un point aura les coordonnées (x0,y0,z0) et le point situé à l'opposé de la sphère aura les coordonnées (-x0,-y0,-z0)... Il faut donc montrer qu'il existe un point au moins de coordonées (x1,y1,z1) appartenant à R^3 tel que f(x1,y1,z1)=f(-x1,-y1,-z1)

C'est bon ? ^^'

Oui, mais attention, le théorème des valeurs intermédiaires parle de fonctions réelles définies sur un intervalle, et une sphère c'est pas un intervalle. Le message de Judoboy de 15h45 explique la solution pour le cercle, c'est quasiment la même pour la sphère (en prenant uniquement la température, hein).

[nodjim]

Bon, je l'ai, c'est simple en fait, je ne dévoile pas pour ceux qui cherchent encore.

[newman]

Salut tout le monde..

Le prof de maths de 1ere de mon petit frère a fait une présentation de classe la spé maths en terminale...après l'arithmétique pendant un trimestre...Ils feront pendant 2 trimestres ,non pas de la géométrie avec les homothéties rotations similitudes ect...,...mais aborderont les matrices et les espaces vectoriels avec géogebra....!!

Est-ce vraiment judicieux selon vous?

[Kikoo <3 Bieber]

Oui, mais attention, le théorème des valeurs intermédiaires parle de fonctions réelles définies sur un intervalle, et une sphère c'est pas un intervalle. Le message de Judoboy de 15h45 explique la solution pour le cercle, c'est quasiment la même pour la sphère (en prenant uniquement la température, hein).

J'ai lu le message de Judoboy mais j'ai pas bien compris...
Alors soit la fonction .

Si , cela implique que et nous sommes ok.
Après, Judoboy, tu dis que si , alors , mais comment en arrive-t-on à là ?

[nodjim]

Pour Skullkid: à toi de trouver l'intervalle! Il y en a, et même beaucoup...