Objets de même couleur

[lapras]

Soit n objets numérotés de 1 à n. On sait que pour tout i entre 1 et n-1, l'objet i est de même couleur que l'objet n-i. Soit k un entier premier avec n et inférieur à n. On sait que l'objet i est de même couleur que l'objet |i-k| (où |x| = valeur absolue de x). Prouver que tous les objets sont de la même couleur.

Bonne chance
Lapras

[aviateurpilot]

salut

signifie et porte la meme couleur


soit tel que
on colore l'ensemble tel que pour a meme couleur que l'objet
le probleme est facile maintenant,
on montre que : et (je peux ecrire la demo si vous voulez)

et donc d'ou
en particulier porte la meme couleur.

[lapras]

Ok ca m'a l'air bon.
peux tu poster ta démo pour les deux propriétés ?
Sinon on peut faire ceci :
Soit M = {1 , 2 , ... , n-1}
on note m_i les éléments de M
on peut prendre les m_i tels que :
m_i = k*i [n] car k premier avec n donc l'ensemble { 0 , k*1 , ... , k*(n-1) } est un systeme complet de résidus modulo n.
On a deux cas :
m_i = m_(i-1) + k (si m_(i-1) < n) et m_i = m_(i-1)+k-n sinon
Avec les hypothese de l'énoncé on arrive à que m_i et m_(i-1) sont de la meme couleur.

[aviateurpilot]

jolie demo,
sinon pour les 2 proprietés, j'ai fait bcp de cas :briques:

si alors
donc on a toujours (vrai aussi pour )

si alors:
si alors
si alors
donc on a toujours (vrai aussi pour )

[lapras]

Ok bravo ta démo est vraiment ingénieuse ! :happy2:

[nodgim]

Bon, j'arrive un peu tard, et la solution est donnée. Je présente tel que je l'ai imaginé:
Comme pour tout objet a, a =a+k (=de la même couleur), il suffit d'énoncer que pour tout a compris entre 1 et k, on a la même couleur, et le tour est joué. De même, on peut ramener n tel que kxk.
En partant de k, peut on déduire la couleur de tous les objets de 1 à k?
k=n-k=2k-n=2n-2k=.....
Or, pour que ak+bn=ck+dn il faut (a-c)k=(d-b)n. Ce qui amène, avec n et k premiers entre eux, à dire que a-c=n et d-b=k.
Les coefficiens de n (c'est à dire d-b), dans les opérations succéssives, sont :+1,-1,+2,-2,+3,-3,.+x, .....
k est atteint avec d-b=k/2-(-k/2), et on a bien tous les termes de 1 à k.

Exemple avec k=7 et n=10(+7.x)
7 induit 10-7=3 induit 2*7-10=4 induit 2*10-2*7=6 induit 3*7-2*10=1 induit 3*10-3*7=9=2=3*10-4*7 induit 5*7-3*10=5 induit 4*10-5*7=5.

Si k et n ne sont pas premiers, les différences successives seront toutes multiples du PGCD de k et n. On forme donc un ensemble d'objets de couleurs identiques qui ne reprend pas l'ensemble des objets de 1 à n.