Endomorphisme et matrices [Prépa ENS]

[ENS1D2]

Bonjour,

J'ai cet exercice à faire en DM, mais je bloque sur quelques questions...Voici l'énoncé:



Et voici ce que j'ai fait jusque là:

1. a. En résolvant le système
x+2y-z=0
2x+4y-2z=0
-x-2y+z=0
On trouve une base du noyau qui est ((1,0,1) ; (0,1,2))
b. De la même manière, en ayant à la place des 0 a,b,c on trouve une base de l'image: (1,2,-1) donc f est de rang 1
c. On démontre aisément que c'est une famille libre et vu que dim E = 3 et qu'on a 3 vecteurs c'est une base de E.

Par contre, comment écrire la matrice A' de f dans la nouvelle base ? On utilise la matrice de passage et le théorème A'=PAP^-1 ?

2. a. Base de Ker g: (1,0,1) et (0,1,-1) de la même manière que dans le 1
b. Base de l'image: (1,2,-1), idem
c. w1=g(e3) donc c'est la 3e colonne dans la matrice, donc w1=(-1,-2,1)
w2=(1,1,0)
e3=(0,0,1)
On démontre que c'est une famille libre, et comme c'est une famille de 3 vecteurs et que dim E = 3, c'est une base de E.

Mais j'ai le même problème pour écrire C' dans la nouvelle base...

3. a. Si h satisfait (1)
Im(h) (somme directe) Ker(h) = E ce qui revient à dire que Im(h) inter Ker(h) = {0E} et Im(h)+Ker(h)=E

Or, si h satisfait (2), Im(h) est inclus dans Ker(h), donc Im(h) inter Ker (h) = Im(h)
Or Im(h) ne peut pas être égal à {0E} car h est de rang 1 donc dim Im(h) = 1

Donc si h satisfait (1), h ne satisfait pas (2), et vice versa.
________________________
Et là impossible de savoir comment répondre aux questions b & c...J'ai beau poser les hypothèses sur le papier, rien ne fait le lien dans ma tête.
Le seul petit indice que je vois, c'est que le nombre de colonne de 0 de D représente la dimension du noyau, et l'unique colonne nous dit que la dimension de l'image est de 1, chose que l'on sait déjà puisque h est de rang 1...Mais ce n'est pas en rapport avec l'hypothèse (1).
Je ne vois vraiment pas le rapport entre Ker, Im et la matrice ainsi écrite...

Si quelqu'un pouvait aider...merci d'avance !

[Doraki]

Si Be = (e1...en) est une base de E, Bf = (f1...fm) une base de F, et u une application linéaire de E dans F,
tu peux calculer les nombres uij tels que pour tout i, u(ei) = somme des uij * fj.
La matrice (uij) s'appelle la matrice de u dans les bases Be et Bf.

Ici tu as choisi ta base exprès pour que les f(ui) aient des formes bien particulières donc il vaut mieux partir directement de la définition.

[ENS1D2]

On parle ici des matrices pour les questions 1 et 2 ?

[Doraki]

Oui, c'est à propos des questions 1 et 2.

[ENS1D2]

D'accord merci, et sinon des pistes pour les b&c du 3?

[Doraki]

Ben pour le b, on te demande de montrer qu'il existe 3 vecteurs u1,u2,u3, qui forment une base de E, et un réel a non nul tels que :
h(u1) = 0
h(u2) = 0
h(u3) = a*u3 ;

Sachant que :
Im h est de dimension 1
Ker h est de dimension 2
E est la somme directe de Im h et de Ker h.

Par exemple pour commencer est-ce que tu peux montrer qu'il existe un vecteur u1 tel que h(u1) = 0 ?

[Dihtbscii]

Je n'ai regardé que le premier exo.
a) Ok
b) Ok
c) Ok
Pour A', tu as l'écriture de f dans la base canonique(c'est A). Tu dois changer de base de départ(passer de la base canonique à cette nouvelle base) et de base d'arrivée (passer de la base canonique à cette nouvelle base).
Tu dois donc multiplier A à droite par la matrice "écriture de ta base dans la base canonique"
à gauche par la matrice "écriture de la base canonique dans ta base".

(c'est bien la formule que tu as écrite) :lol3:

[cdav]

Bonjour,

J'ai cet exercice à faire en DM, mais je bloque sur quelques questions...Voici l'énoncé:



Et voici ce que j'ai fait jusque là:

1. a. En résolvant le système
x+2y-z=0
2x+4y-2z=0
-x-2y+z=0
On trouve une base du noyau qui est ((1,0,1) ; (0,1,2))
b. De la même manière, en ayant à la place des 0 a,b,c on trouve une base de l'image: (1,2,-1) donc f est de rang 1
c. On démontre aisément que c'est une famille libre et vu que dim E = 3 et qu'on a 3 vecteurs c'est une base de E.

Par contre, comment écrire la matrice A' de f dans la nouvelle base ? On utilise la matrice de passage et le théorème A'=PAP^-1 ?

2. a. Base de Ker g: (1,0,1) et (0,1,-1) de la même manière que dans le 1
b. Base de l'image: (1,2,-1), idem
c. w1=g(e3) donc c'est la 3e colonne dans la matrice, donc w1=(-1,-2,1)
w2=(1,1,0)
e3=(0,0,1)
On démontre que c'est une famille libre, et comme c'est une famille de 3 vecteurs et que dim E = 3, c'est une base de E.

Mais j'ai le même problème pour écrire C' dans la nouvelle base...

3. a. Si h satisfait (1)
Im(h) (somme directe) Ker(h) = E ce qui revient à dire que Im(h) inter Ker(h) = {0E} et Im(h)+Ker(h)=E

Or, si h satisfait (2), Im(h) est inclus dans Ker(h), donc Im(h) inter Ker (h) = Im(h)
Or Im(h) ne peut pas être égal à {0E} car h est de rang 1 donc dim Im(h) = 1

Donc si h satisfait (1), h ne satisfait pas (2), et vice versa.
________________________
Et là impossible de savoir comment répondre aux questions b & c...J'ai beau poser les hypothèses sur le papier, rien ne fait le lien dans ma tête.
Le seul petit indice que je vois, c'est que le nombre de colonne de 0 de D représente la dimension du noyau, et l'unique colonne nous dit que la dimension de l'image est de 1, chose que l'on sait déjà puisque h est de rang 1...Mais ce n'est pas en rapport avec l'hypothèse (1).
Je ne vois vraiment pas le rapport entre Ker, Im et la matrice ainsi écrite...

Si quelqu'un pouvait aider...merci d'avance !

pour la question b)



on sait que dim (Imh)=1 soit v un vecteur de l'image non nul
h(v) appartient a l'image donc est colineaire a v
donc tu prends pour base (u_1,u_2) une base de Kerh et tu lui ajoutes v;



pour c)

soit u_3 qui engendre Imh et u_1=h(u_3), u_1 est dans Ker(h) car imh est inclus dans Kerh
pour u_2 tu prends un deuxieme vecteur de Kerh non colineiares a u_2;

dans la base (u_1,u_2,u_3) la matrice de u a la forme voulue;

ismath

[ENS1D2]

Si Be = (e1...en) est une base de E, Bf = (f1...fm) une base de F, et u une application linéaire de E dans F,
tu peux calculer les nombres uij tels que pour tout i, u(ei) = somme des uij * fj.
La matrice (uij) s'appelle la matrice de u dans les bases Be et Bf.

Ici tu as choisi ta base exprès pour que les f(ui) aient des formes bien particulières donc il vaut mieux partir directement de la définition.

Effectivement, je remarque ceci:
u1 = (1,0,1) = e1 + e3
u2 = (1,0,-1) = e1 - e3
u3 = (0,1,0) = e2

Donc...j'en déduis que f(u1) = f(e1) + f(e3) ; f(u2) = f(e1)-f(e3) et f(u3) = f(e2) c'est ça ?
Et donc pour construire ma matrice, je pars de la matrice A et j'effectue les opérations sur les colonnes. Ce qui au final me donne

A':
0 2 2
0 4 4
0 -2 -2

Je peux faire la même chose avec la matrice C' ?

Avec C', ça me donne:
w1=g(e3)=-e1-2e2+e3
w2=(1,1,0)=e1+e2
e3=e3

En utilisant l'application g:
g(w1) = -g(e1)-2g(e2)+g(e3)
g(w2) = g(e1) + g-e2)
g(e3) = g(e3)

Donc en faisant les calculs:
C':
-4 0 -1
-4 0 -2
0 0 1

Par exemple pour commencer est-ce que tu peux montrer qu'il existe un vecteur u1 tel que h(u1) = 0 ?

Oui, quelque soit u1 appartient à Ker(h), h(u1) = 0

on sait que dim (Imh)=1 soit v un vecteur de l'image non nul h(v) appartient a l'image donc est colineaire a v donc tu prends pour base (u_1,u_2) une base de Kerh et tu lui ajoutes v

Ceci implique que si u1, u2 est une base de Kerh, h(u1) et h(u2) s'écrivent comme une colonne de 0 dans la matrice représentative de h dans la base u1,u2,u3 ?
Et on justifie le fait que une base de Ker H + une base de Im h suffit à écrire la matrice par la propriété Ker H + Im H = E ?

soit u_3 qui engendre Imh et u_1=h(u_3), u_1 est dans Ker(h) car imh est inclus dans Kerh pour u_2 tu prends un deuxieme vecteur de Kerh non colineiares a u_2; dans la base (u_1,u_2,u_3) la matrice de u a la forme voulue

u3 engendre Imh donc u3 est une base de Im h, d'accord...or comme Imh inclus dans Ker h, h(u3) = 0 non ?
Là je me perds...pourquoi on nous parle de a un nombre réel non nul alors que dans la matrice il n'y a qu'un "1" ?

[cdav]

Effectivement, je remarque ceci:
u1 = (1,0,1) = e1 + e3
u2 = (1,0,-1) = e1 - e3
u3 = (0,1,0) = e2

Donc...j'en déduis que f(u1) = f(e1) + f(e3) ; f(u2) = f(e1)-f(e3) et f(u3) = f(e2) c'est ça ?
Et donc pour construire ma matrice, je pars de la matrice A et j'effectue les opérations sur les colonnes. Ce qui au final me donne

A':
0 2 2
0 4 4
0 -2 -2

Je peux faire la même chose avec la matrice C' ?

Avec C', ça me donne:
w1=g(e3)=-e1-2e2+e3
w2=(1,1,0)=e1+e2
e3=e3

En utilisant l'application g:
g(w1) = -g(e1)-2g(e2)+g(e3)
g(w2) = g(e1) + g-e2)
g(e3) = g(e3)

Donc en faisant les calculs:
C':
-4 0 -1
-4 0 -2
0 0 1




Oui, quelque soit u1 appartient à Ker(h), h(u1) = 0



Ceci implique que si u1, u2 est une base de Kerh, h(u1) et h(u2) s'écrivent comme une colonne de 0 dans la matrice représentative de h dans la base u1,u2,u3 ?
Et on justifie le fait que une base de Ker H + une base de Im h suffit à écrire la matrice par la propriété Ker H + Im H = E ?



u3 engendre Imh donc u3 est une base de Im h, d'accord...or comme Imh inclus dans Ker h, h(u3) = 0 non ?
Là je me perds...pourquoi on nous parle de a un nombre réel non nul alors que dans la matrice il n'y a qu'un "1" ?

pour la question c:

dim(Imh)=1 donc on peut trouver v non nul dans Im(h); par suite il existe u_3 dans R^3-kerh tel que v=h(u_3);
h(v)=0 donc je prends u_1=v et je prends dans kerh un 2ieme vecteur qui gforme une base de kerh qui est de dimension2 soit B=(u_1,u_2,u-3); tu montres facilement que c'est une base de R^3 et on a
h(u_1)=0
h(u_2)=0
h(u_3)=u_1 par construction


pour la question b:
reprend ma reponse et on a a au lieu de 1 car j'ai pris un vecteur qui est colineaire;

[Doraki]

Effectivement, je remarque ceci:
u1 = (1,0,1) = e1 + e3
u2 = (1,0,-1) = e1 - e3
u3 = (0,1,0) = e2

Comment t'as fait pour partir de, je te cite,

On trouve une base du noyau qui est ((1,0,1) ; (0,1,2))
De la même manière on trouve une base de l'image: (1,2,-1)

et en lisant

Montrer que la réunion des bases précédentes donne une base (u1,u2,u3) de E

, pour obtenir un truc aussi impossible que ton (u1=(1,0,1) u2=(1,0,-1) u3=(0,1,0)) !?!?

Quand tu auras écrit une bonne base (u1,u2,u3),
on te demande la matrice de f dans la base (u1,u2,u3), ce qui veut implicitement dire (puisque f est un endomorphisme), la matrice de f dans la base de départ (u1,u2,u3) de E et dans la base d'arrivée (u1,u2,u3) de E : il faut écrire les coordonnées de f(ui) dans la base (u1,u2,u3), pas dans la base (e1,e2,e3)

[ENS1D2]

Oups, j'ai mal recopié à partir de mon brouillon j'ai confondu avec un exo précédent...
Oui non la bonne base c'est
u1 = (1,0,1)
u2 = (0,1,2)
u3 = (1,2,-1)

Il faudrait donc que j'ai quelque chose comme:
f(u1) = au1 + bu2 + cu3
f(u2) = xu1 + yu2 + zu3
... ? Mais je vois pas comment à l'aide de la matrice A et des deux nouvelles bases je peux arriver à déterminer ces relations...je dois utiliser e1, e2, e3 ? Par exemple u1=e1+e3 ? Ou alors pas du tout ?

[Doraki]

Oups, j'ai mal recopié à partir de mon brouillon j'ai confondu avec un exo précédent...
Oui non la bonne base c'est
u1 = (1,0,1)
u2 = (0,1,2)
u3 = (1,2,-1)

Il faudrait donc que j'ai quelque chose comme:
f(u1) = au1 + bu2 + cu3
f(u2) = xu1 + yu2 + zu3
... ? Mais je vois pas comment à l'aide de la matrice A et des deux nouvelles bases je peux arriver à déterminer ces relations...je dois utiliser e1, e2, e3 ? Par exemple u1=e1+e3 ? Ou alors pas du tout ?

Ben soit tu t'embêtes à réécrire u1 comme combinaison linéaire des ei, puis calculer f(u1) comme combinaison linéaire des f(ei), à remplacer f(ei) par une combinaison linéaire des ei, puis remplacer les ei par des combinaisons linéaires des ui. (c'est le même calcul que de déterminer les matrices de passage et de calculer P-1AP, donc ça risque d'être un peu pénible).

Soit tu te souviens que tu n'as pas choisi u1 au hasard dans R^3 et tu regardes si par hasard il est pas censé vérifier une propriété en rapport avec f, ce qui te donnerait un indice sur les valeurs possibles de f(u1).

[ENS1D2]

Ah ! Ben u1 est une base de Ker f donc f(u1) = 0 !
Pareil pour f(u2).
Et u3 est une base de l'image de f, donc f(u3) = k.u3 ?

[Doraki]

Ah ! Ben u1 est une base de Ker f donc f(u1) = 0 !
Pareil pour f(u2).
Et u3 est une base de l'image de f, donc f(u3) = k.u3 ?

Exactement, u1 et u2 sont dans Ker f, et Im f = Ru3.
Donc il ne te reste plus qu'à déterminer la valeur de k donc il faut quand même que tu compares f(u3) et u3.
Pas la peine de calculer f(u3) entièrement, si tu calcules juste la coordonnée de f(u3) devant e1 dans la base (e1,e2,e3), ça suffira pour trouver k.

[ENS1D2]

Ok, donc sachant que u3 = (1,2,-1) = e1 + 2e2 - e3
f(u3) = f(e1) + 2f(e2) - f(e3)
A l'aide de la matrice A, le coefficient de f(u3) devant e1 dans la base (e1,e2,e3) c'est 1+2*2-(-1) = 6.
k = 6 ?
6u3=6(1,2,-1)=(6,12,-6)
A':
0 0 6
0 0 12
0 0 -6

Edit: Ou alors non, puisque c'est 6u3, la matrice c'est

0 0 0
0 0 0
0 0 6

plutôt non ?


Pour la question 2 et C':
w1=g(e3) donc w1 appartient à Im g
w2 = (1,1,0)
e3 = (0,0,1)
Mais ici aucun vecteur n'appartient à Ker g...?
A part peut être si je dis que w1=g(e3)=(-1,-2,1)=-(1,0,1)-2(0,1,-1)
J'ai donc w1 qui s'exprime comme combinaison linéaire des vecteurs de la base de Ker g, donc w1 appartient à Ker g donc g(w1) = 0 ? :D
De même... w2=(1,1,0)=(1,0,1)+(0,1,-1) donc aussi combinaison linéaire des vecteurs de la base de Ker g, donc w2 appartient à Ker g donc g(w2) = 0
Et g(e3)=w1, ce qui me donne la matrice suivante:
0 0 1
0 0 0
0 0 0

C'est ça ?

[Doraki]

Oui c'est bien ça.
Ils ont pris w1 = un vecteur de Im g (qui est dans Ker g), et ils ont pris un vecteur w2 qui complète (w1) en une base (w1,w2) de Ker g.

Maintenant la question 3 consiste à montrer que si f est de rang 1 alors il existe une base telle que la matrice de f soit de l'une ou l'autre forme. En fait tu vas devoir faire quasiment la même chose, juste qu'il y aura aucun calcul concret.

[ENS1D2]

Merci.

Au niveau de la rédaction ça donnerait:

b. h satisfait la propriété (1), donc Im(h) (somme directe) Ker(h) = E.
Donc une base de Im(h) complétée par une base de Ker(h) donne une base de E.
Sachant que h est de rang 1, dim Im(h) = 1 et une base de Im(h) est composée d'un seul vecteur, d'après le th. du rang, dim Ker(h) = 2.
On pose (u1,u2) deux vecteurs formant une base de Ker(h), et (u3) un vecteur formant une base de Im(h).
La réunion de ces deux bases forme une base (u1,u2,u3) de E, et on peut écrire la matrice correspondante à h en exprimant h(u1), h(u2) et h(u3):
-u1 et u2 appartiennent à Ker h donc h(u1)=h(u2)=0
-u3 appartient à Im(h) donc h(u3)=a.u3
D'où la matrice D.

Quand on me demande h², on me demande bien de calculer le produit matriciel D² ?
D² =
0 0 0
0 0 0
0 0 a²

c. h satisfait la propriété (2), donc Im(h) est inclut dans Ker(h).
Sachant que h est de rang 1, dim Im(h) = 1 et dim Ker (h) = 2

dim Im(h) = 1 donc il existe v non nul appartenant à Im(h). On pose v=h(w3). Or Im(h) est inclut dans Ker(h) donc
h(v)=0, on pose w1=v, w1 appartient à Ker(h), on pose w2 le vecteur qui complète w1 pour former une base de Ker(h).

Sachant que w1 et w2 appartiennent à Ker(h), h(w1)=h(w2)=0
De plus, h(w3)=w1, d'où le résultat.
Ici, F²=F.
Par contre, comment justifier ici que w1, w2, w3 est bien une base de E ?

[Doraki]

h² c'est l'endomorphisme x -> h(h(x)).
Il correspond à l'endomorphisme dont la matrice est D², mais c'est encore mieux si tu décris h² sans matrice mais seulement en fonction de h et de a.

Pour F², moi je trouve pas F.

Enfin pour montrer dans c) que (w1,w2,w3) est une base, tu peux par exemple montrer que c'est une famille libre.

[ENS1D2]

Hm...Pour cela il faudrait que j'exprime clairement h(u) non ?
Quelque soit u(x,y,z) appartient à R3, h(u)=(0,0,az) ?
Donc h(h(u)) = (0,0, a²z) ?

Effectivement, pour F² on trouve la matrice nulle.
Donc h²=0

Mais comment montrer que c'est une famille libre si je n'exprime aucun vecteur vraiment ? Je peux juste le supposer ?