Bijection réciproque d'un endomorphisme (ens. des polynômes)

[Yann_Benoit]

Bonjour,

Je ne parviens pas à trouver "par moi-même" la bijection réciproque d'un endomorphisme plutôt simple.

Voilà : Soit f un endomorphisme de l'ensemble des polynômes réels de degré inférieur ou égal à 4 qui, à tout polynôme P associe le polynôme P(X+1). Montrez que la bijection réciproque de f est l'application qu'on notera g qui, à tout polynôme P associe le polynôme P(X-1).

D'après le manuel, c'est évident mais.. pas pour moi , sachant que je cherche à le démontrer "proprement". Pourriez-vous m'aider, s'il vous plaît ? Merci !

[Nightmare]

Salut,

il te suffit de montrer que fog=gof=Id

[Yann_Benoit]

Merci Nightmare. C'était simple et j'ai un peu honte (désolé pour le dérangement...).

En effet, je trouve, sauf erreur :
fog(P(X))=f(g(P(X))=f(P(X-1))=P(X-1+1)=P(X), i.e. l'application identique,
et
gof(P(X))=g(f(P(X))=g(P(X+1))=P(X+1-1)=P(X), idem.

Une question de plus : s'il m'avait fallu trouver seul la bijection réciproque de f, de quelle manière aurais-je dû procéder ? Merci.

[Nightmare]

La recherche d'une bijection réciproque c'est exactement la recherche des antécédents.

En l'occurrence, il s'agit ici de résoudre f(P)=Q où Q est un polynôme quelconque, on a alors P(X+1)=Q(X) donc immédiatement P(X)=Q(X-1). Ainsi l'application qui à Q associe son antécédent par f est Q->Q(X-1), qui est par définition note bijection réciproque recherchée.

[Yann_Benoit]

@Nightmare : Je comprends que tu écris mais, face à ton "immédiatement", j'avoue que, de mon côté, ça ne me saute pas du tout aux yeux... :help:

[Yann_Benoit]

Au temps pour moi ! J'ai compris (je devrais faire une pause...)
à partir de P(X+1)=Q(X), on a alors P(X+1-1)=Q(X-1), i.e. P(X)=Q(X-1).
Merci Nightmare.

[Nightmare]

Je t'en prie.