Endomorphisme et matrices [Prépa ENS]

[Doraki]

Quelque soit u(x,y,z) appartient à R3, h(u)=(0,0,az) ?

Non, tu ne peux pas calculer h(u) pour u dans E (qui se trouve être R^3), mais tu peux calculer h(x.u1 + y.u2 + z.u3) pour (x,y,z) dans R^3.

Mais comment montrer que c'est une famille libre si je n'exprime aucun vecteur vraiment ? Je peux juste le supposer ?

Ben tu supposes que x.w1 + y.w2 + z.w3 = 0 et tu cherches à montrer que x=y=z=0.
Sachant que h existe, que (w1,w2) est une base de Ker h, donc libre, et que h(w3)=w1.

[ENS1D2]

Non, tu ne peux pas calculer h(u) pour u dans E (qui se trouve être R^3), mais tu peux calculer h(x.u1 + y.u2 + z.u3) pour (x,y,z) dans R^3.

h(x.u1 + y.u2 + z.u3)=(0,0,az) pour (x,y,z) dans R3 non ?
Et en appliquant une nouvelle fois h, je calcule h(0.u1 + 0.u2 + az.u3) = (0,0,a²z) ?

Ben tu supposes que x.w1 + y.w2 + z.w3 = 0 et tu cherches à montrer que x=y=z=0. Sachant que h existe, que (w1,w2) est une base de Ker h, donc libre, et que h(w3)=w1.

Hm...
x.w1 + y.w2 + z.w3 = 0
On applique h: h(x.w1 + y.w2 + z.w3) = h(0) = 0
D'où x.h(w1) + y.h(w2) + z.h(w3) = 0
Or h(w1) et h(w2) = 0 car w1, w2 forment une base de Ker h, donc z.h(w3)=0
Or h(w3)=w1, donc z.w1=0, et comme d'après les hypothèses de départ w1 est non nul, on en déduit que z=0.
Donc x.w1 + y.w2 = 0, or w1,w2 est une base de ker H donc libre donc x=y=0
Conclusion: x=y=z=0
La famille w1,w2,w3 est donc une famille libre.

Le reste est bon, avec h²=0 ?

[Doraki]

h(x.u1 + y.u2 + z.u3)=(0,0,az) pour (x,y,z) dans R3 non ?

Non, h(u3) ce n'est pas (0,0,a) mais c'est a.u3

A aucun moment de l'histoire tu ne peux dire de truc intéressant sur un vecteur de E (=R^3) exprimé dans R^3 et h. Tout ce que tu sais sur E et h, est résumé par l'existence de ces 3 vecteurs u1 u2 u3 qui vérifient telle et telle propriété. Le seul moyen pertinent que tu as de décrire un élément de E en rapport avec h, c'est de le faire en passant par u1,u2,u3.
Tu peux recopier mot pour mot la question 3 en supposant que "E est un espace vectoriel inconnu de dimension 3", ce qui t'interdis de faire ces erreurs où tu écris un élément de R^3 comme un élément de E.

Le reste est bon.

[cdav]

Non, h(u3) ce n'est pas (0,0,a) mais c'est a.u3

A aucun moment de l'histoire tu ne peux dire de truc intéressant sur un vecteur de E (=R^3) exprimé dans R^3 et h. Tout ce que tu sais sur E et h, est résumé par l'existence de ces 3 vecteurs u1 u2 u3 qui vérifient telle et telle propriété. Le seul moyen pertinent que tu as de décrire un élément de E en rapport avec h, c'est de le faire en passant par u1,u2,u3.
Tu peux recopier mot pour mot la question 3 en supposant que "E est un espace vectoriel inconnu de dimension 3", ce qui t'interdis de faire ces erreurs où tu écris un élément de R^3 comme un élément de E.

Le reste est bon.

la demonstration de b et c je te les ai donnees; dis moi ce que tu ne comprends pas;

[ENS1D2]

Tout est bon, à part le fait d'exprimer h avec un vecteur, mais j'ai laissé avec les matrices.
Merci beaucoup à vous deux pour vos réponses !