Sphère/Plan

[Supernova]

salut;
Je suis bloquée sur un exo de géométrie, le voici:

Soit H l'ensemble de points de coordonnées qui vérifient l'équation: x^2 + y^2 = z^2 + 2

a) H est-il une sphère? Si oui préciser son centre et son rayon.

b) Pour tout k £ IR, on appelle Pk le plan d'équation z=k. Pour tout réel k, démontrer que l'intersection de H et du plan Pk est un cercle Ck dont on précisera le centre et le rayon.

c) Représenter, sur un schéma sommaire, quelques cercles Ck permettant de suggérer l'allure de la surface H.

[Dinozzo13]

salut;
Je suis bloquée sur un exo de géométrie, le voici:

Soit H l'ensemble de points de coordonnées qui vérifient l'équation: x^2 + y^2 = z^2 + 2

a) H est-il une sphère? Si oui préciser son centre et son rayon.

b) Pour tout k £ IR, on appelle Pk le plan d'équation z=k. Pour tout réel k, démontrer que l'intersection de H et du plan Pk est un cercle Ck dont on précisera le centre et le rayon.

c) Représenter, sur un schéma sommaire, quelques cercles Ck permettant de suggérer l'allure de la surface H.

Salut !

L'équation d'une sphère (au sens strict) est de la forme avec .
Or ici, on a . La présence du signe "-" devant le terme "" implique que H n'est pas une sphère.

Remarque que peut s'écrire, paramétriquement par :
.

La première équation représente l'équation d'un cercle de centre et de rayon .

Tu remarques ensuite que t donc z varie dans donc :
- Quand z>0 augmente alors le rayon R augmente très vite (à cause de _² attibué à la côte "z");
- Quand z<0 diminue alors, de même, le rayon R augmente très vite.

en effet, considèrons la fonction f qui donne le rayon du cercle [1] sur le plan d'équation z=t définie pour tout t par : .

Il est clair que et ce, quel que soit (la courbe représentatice de f admet donc l'ordonnée pour axe de symétrie).
De plus, à l'aide d'une étude de fonction sur on montre que f est strictement croissante.
Enfin, on en déduit que f est strictement décroissante sur .

En conclusion, la figure engendrée est un cercle de centre appartenant à l'axe (Oz) et de rayon décrivant la fonction f.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/Hyperb1N.png/200px-Hyperb1N.png

Joyeux noël !!

:++:

[Dinozzo13]

(Oups, je viens de me rendre compte que j'avais en partie répondu aux questions suivantes).

[Supernova]

Merciii Dinozooo :D

Happy Noël à toi aussi

[Supernova]

Stp j'ai une autre question, si on prend l'ensemble Sm: x^2 + y^2 + z^2 - 2v2 mz + m^2 - 2 = 0
il s'agit bien d'une sphère de centre Im(0,0, v2m) et de rayon Rm=v(2+m^2)
Quel sera l'ensemble des points qui appartiennent à toutes les sphères Sm ??

[Mathusalem]

Stp j'ai une autre question, si on prend l'ensemble Sm: x^2 + y^2 + z^2 - 2v2 mz + m^2 - 2 = 0
il s'agit bien d'une sphère de centre Im(0,0, v2m) et de rayon Rm=v(2+m^2)
Quel sera l'ensemble des points qui appartiennent à toutes les sphères Sm ??

Si ce que tu écris est l'équation



alors je suis au regret de t'annoncer qu'il n'y a aucun point commun entre toutes les sphères Sm.

[Supernova]

:ptdr: Moi aussi je n'ai trouvé aucun point commun entre toutes les sphères !