L'inverse de la sphère est le plan, saison 2!

[Euler911]

Bonsoir,

Je recherche une démonstration du théorème suivant:

"L'inverse de la sphère est le plan" (et peut-être aussi sa réciproque éventuellement).

Comme je l'ai dit dans le ce topic que j'ai déjà essayé de démontrer ce théorème en utilisant une méthode analytique (équation d'une sphère) et en utilisant la définition de la sphère en terme de lieu géométrique. En vain, vous l'aurez compris puisque je crée ce topic;) Je rappelle mon niveau en math: terminale. Je ne suis pas contre une démonstration qui est un peu hors programme, mais il ne faudrait pas m'en donner une trop compliquée...
Si vous pouviez, au lieu peut-être de me donner une démo toute faute, juste me donner des pistes/indices pour que je puisse réfléchir un peu :lol2:
Merci d'avance à tous ceux qui auront la patience de m'aider,

Euler...

(C'est limite obséquieux le formule de politesse, mais y parait que c'est d'usage:P)

[Nightmare]

Bonsoir,

Ecris ton inversion sous forme complexe. Ensuite tu peux par exemple utiliser la description d'une sphère en coordonnées sphériques !

[Euler911]

Ensuite tu peux par exemple utiliser la description d'une sphère en coordonnées sphériques !

:hein: Comme ça:



où R=rayon de la sphère, a=longitude et b=latitude??

[Euler911]

Pour retranscrire l'inversion, je dois utiliser le système du message 3 ou partir de l'équation cartésienne d'une sphère (x²+y²+z²=r²)???

[Nightmare]

Désolé d'abandonner notre discussion, mais ce forum ne m'intéresse plus. Je t'invite à attendre à un autre correcteur, ou à te diriger vers un autre forum où je pourrai te répondre.

[Euler911]

Au plaisir dans ce cas:P

RDV sur l'ile!

[Doraki]

Les plans et les sphères c'est les lieux géométriques des équations du type
ax+by+cz+d(x²+y²+z²)+e = 0.

L'inversion de centre 0 et de rapport 1 elle transforme (x,y,z) en (x/(x²+y²+z²),y/(x²+y²+z²),z/(x²+y²+z²)).

Avec ça tu devrais pouvoir en tirer les équations qui définissent les images réciproques des plans ou des sphères, et en faisant deux trois simplifications, de voir que ça revient au même type d'équation.

[Maxmau]

Bj

Dans le plan
T : l’inversion de pôle I et de puissance k
;) Le cercle de diamètre IJ
J’ = T(J)
;) la droite perpendiculaire en J’ au diamètre (IJ)

Soit M un point quelconque de ;) . La droite (IM) coupe ;) en m
Les points M,m,J’, J sont cocycliques
On a donc (en mesures algébriques) : IM.Im = IJ.IJ’ = k et donc : m =T(M)

Conclusion : L’inversion T transforme ;) en ;)

Lorsqu’un cercle contient le pôle d’inversion, il est transformé en une droite orthogonale à la droite joignant le pôle d’inversion au centre du cercle

Tu fais tourner la figure précédente autour du diamètre IJ et tu obtiens
La transformée d’une sphère contenant le pôle d’inversion est un plan

[Euler911]

Bonsoir et merci pour vos réponses!

Maxmau: est-ce aussi simple que ça: faire tourner le cercle autour d'un axe???

Les plans et les sphères c'est les lieux géométriques des équations du type ax+by+cz+d(x²+y²+z²)+e = 0. L'inversion de centre 0 et de rapport 1 elle transforme (x,y,z) en (x/(x²+y²+z²),y/(x²+y²+z²),z/(x²+y²+z²)). Avec ça tu devrais pouvoir en tirer les équations qui définissent les images réciproques des plans ou des sphères, et en faisant deux trois simplifications, de voir que ça revient au même type d'équation.

... j'aurais jamais pensé à cette équation...merci pour ces éclaircissement !

[Maxmau]

Bonsoir et merci pour vos réponses!

Maxmau: est-ce aussi simple que ça: faire tourner le cercle autour d'un axe???

OUI
Tu traites d'abord le problème plan (ça nécessite des connaissances très élémentaires )
L'extension à l'espace est évidente

[Euler911]

OUI
Tu traites d'abord le problème plan (ça nécessite des connaissances très élémentaires )
L'extension à l'espace est évidente

Ok merci!!! J'ai posé la question pcq j'avais démontré cette propriété (transformée d'un cercle...) mais je n'ai pas pensé à faire tourner le cercle autour d'un de ses axes... :marteau: Merci pour tout: problème résolu!