Problème pour trouver f(a)=0

[x-petro-x]

Bonjour, nous sommes en 2ème année de prépa ECE et (comme chaque semaine ^^) nous avons un DM. Là nous bloquons sur une question, si quelqu'un pouvait nous aidez ce serait formidable :) Voici l'exo:

f(x)= ln((e^x)-(e^-x))
D= ]0;;)[
On note C sa courbe représentative.

1) On trouve f strictement croissante sur D, lim f(x)= -;) (qd x;)0) et lim f(x)= +;) (qd x;)+;))

Nous bloquons a la question suivante : EN DEDUIRE l'existence d'un unique réel a verifiant f(a)=0, puiis donner la valeur EXACTE de a.

Que a tel que f(a)=0, logique. Le problème viens du fait de devoir trouver la valeur exacte de a, alors que d'habitude nous en donnons un encadrement par le theorème des valeurs intermediaires ou de bijection monotone. Help SVP.

[Nightmare]

Salut,

Que doit vérifier a?

[x-petro-x]

a doit verifier f(a)=O et c'est un réel

[Nightmare]

Ok, mais que vaut f(a)? Donc quelle équation vérifie a? Donc que vaut a?

[x-petro-x]

f(a)= ln((e^a)-(e^-a))

[x-petro-x]

Ce qui veut donc dire que (e^a)-(e^-a)=1

[Nightmare]

Tout à fait.

Maintenant, il s'agit de trouver a.

Petit rappel : exp(-a)=1/exp(a).

[x-petro-x]

Utile le petit rappel!

Cela nous donne f(a)=0 ;) (e^a)-(e^-a)=0 ;) ((e^a)²-1)/(e^a)=0;) ((e^2a)-1)/(e^a)=0.
Or comme D= ]0;+;)[, e^a>0. On cherche donc (e^2a)-1=0 ;) e^2a=1 ;) ln(e^2a)=ln1 ;) 2a=0 ;) a=0.

Trop bien on a réussi... et bah non 0 ne fait pas partis de l'ensemble de définition... Vois tu d'où peut venir le problème, ou notre erreur?

[Nightmare]

Je ne comprends pas ta résolution.

Tout d'abord, tes premières équivalences me sembles étranges :

Tu écris f(a)=0 ;) (e^a)-(e^-a) ;) ...

A départ, tu as une équation, où est-elle passée?

Ensuite, que vient faire là le fait que exp(a) > 0? A quel moment t'es-tu servi de cette propriété?

Bref, c'est très flou, essaye de revoir un peu tout ça.

[x-petro-x]

Effectivement j'ai fais quelques erreurs. Je recommence (mais je pense qu'il y a toujours des problèmes...)

f(a)=0 ;) ln((e^a)-(e^-a))=0 ;) (e^a)-(e^-a)=1 ;) e^a-(1/e^a)=1 ;) ((e^2a)-1)/e^a=1 ;) (((e^2a)-1)/e^a)-1=0 ;) (e^2a - e^a - 1)/e^a = 0 ;) ((e^a)² - e^a - 1) / e^a =0

Or e^a>0 comme D=]0;+;)[, donc on cherche a résoudre l'équation (e^a)²-e^a-1 = 0.

En applicant la méthode pour résoudre un polynôme du 2nd degré, on trouve 2 solutions:

(1-;)5)/2 et (1+;)5)/2.

Le problème est que plus loin dans l'exo, il est précisé que a;)0,5

[Nightmare]

Les deux solutions que tu trouves sont celles de quelle équation?