Problème pour trouver une dimension

[duchere]

Bonjour, je suis en train de faire le problème de centrale PC2006 disponible ici : http://concours-maths-cpge.fr/corriges.html (il y a même la correction)

J'ai un petit problème à la question III.A.

Ils définissent le R-ev E=RxRxCxR dont ils demandent la dimension qui est 5 par produit cartésien.

Ensuite, ils font montrer que la matrice

z1 z1barre 1
z2 z2barre 1
z3 z3barre 1

est inversible, sachant que z1,z2,z3 sont les affixes de 3 points M1,M2,M3 non allignés (simple calcul de déterminant)

Vient alors mon problème.

(je souligne les z_i pour parler du conjugué au lieu de mettre une barre...
Ils définissent S={(A,B,C,D)€E / A*z_i*z_i +B(z_i²+z_i ²)+C*z_i +C *z_i+D=0}

Et ils demandent quelle est la dimension de S.

La correction dit :

3 équations indépendantes avec cinq inconnues donc dim(S)=2

Je trouve que c'est un peu simpliste....

Car A,B et D doivent être réels, et en plus le coefficient devant z_i doit être le conjugué du coefficient devant z_i

Donc il y a des conditions en plus à respecter....

Quelqu'un aurait-il une explication ?

Merci

[Maxmau]

Vous avez 3 formes R-linéaires qui définissent S
La matrice des coeff est une 3x5 matrice où on lit le déterminant précédent dans les 3 dernières colonnes. Ces 3 formes sont donc indépendantes.

[duchere]

Merci de ta réponse

J'ai en effet bien compris que les équations seraient indépendantes grâce au déterminant non nul...

Mais le problème c'est que S n'est pas défini par :




auquel cas, on peut en effet parler de 3 équations indépendantes (car det(M) différent de 0) à 5 inconnues C et E sont indépendants et on aurait facilement dim(S)=2


mais S est défini par



c'est-à-dire

Donc, on ne peut plus parler d'équations indépendantes, il me semble que ça n'a plus de sens...

En revanche, j'ai peut-être une solution.

On considère le système d'équations

où les inconnues a priori complexes sont C, D et E et où A et B sont réels.

Alors en prenant le conjugué du système et en faisant la différence membre à membre avec le sytème de départ on a :




Et on en conclut grâce à l'inversibilité de la matrice

et que c'est-à-dire

On s'est donc ramené aux équations de S.

Ceci fait, on en déduit que que dim(S)=2

Tout ceci est-il bien nécessaire ?

Parce que si ce n'est pas nécessaire comme celui qui a fait la correction semble le sous-entendre, j'aimerais bien avoir des arguments.

Merci d'avance.

[Maxmau]

Merci de ta réponse

J'ai en effet bien compris que les équations seraient indépendantes grâce au déterminant non nul...

Mais le problème c'est que S n'est pas défini par :




auquel cas, on peut en effet parler de 3 équations indépendantes (car det(M) différent de 0) à 5 inconnues C et E sont indépendants et on aurait facilement dim(S)=2


mais S est défini par



c'est-à-dire

Donc, on ne peut plus parler d'équations indépendantes, il me semble que ça n'a plus de sens...

En revanche, j'ai peut-être une solution.

On considère le système d'équations

où les inconnues a priori complexes sont C, D et E et où A et B sont réels.

Alors en prenant le conjugué du système et en faisant la différence membre à membre avec le sytème de départ on a :




Et on en conclut grâce à l'inversibilité de la matrice

et que c'est-à-dire

On s'est donc ramené aux équations de S.

Ceci fait, on en déduit que que dim(S)=2

Tout ceci est-il bien nécessaire ?

Parce que si ce n'est pas nécessaire comme celui qui a fait la correction semble le sous-entendre, j'aimerais bien avoir des arguments.

Merci d'avance.

OK – Tu as raison
Je n’arrive pas à formuler clairement une explication en profondeur
Le plus simple est de tout ramener à du réel

Première remarque
En posant zi = xi + i yi
Le déterminant est égal (à un coeff près peut être ) au déterminant dont les 3 lignes sont
( x1 , y1 , 1) ( x2 , y2 , 1 ) ( x3 , y3 , 1 )

Deuxième remarque
1(A,B,C,D) = A
2(A,B,C,D) = B
3(A,B,C,D) = (C+C*)/2 ( C* pour le conjugué)
4(A,B,C,D) = (C-C*)/2i
5(A,B,C,D) = D
Ces 5 formes réelles R-linéaires constituent une base de E* (dual de E)

En écrivant zi* C + zi C* sous la forme xi (C+C*) –i yi (C – C*)
= 2xi 3 + 2yi 4 il est alors facile de conclure en utilisant la première remarque

[duchere]

OK merci

En tout cas, ce qui est certain c'est que c'est plutôt facile à voir - quoi que - mais très difficile à rédiger, surtout un jour de concours....

Ca aurait pu être admis, parce que la démonstration n'a vraiment aucun intérêt et a seulement le mérite d'énerver ceux qui essayent de la faire proprement !!

Bonne soirée.