Nombres Complexes dans un Plan

[Inogood]

Bonsoir,

Toute aide sera grandement appréciée.

On a deux points, A et B d'affixes 2 et -2, et on définit l'application f qui a tout oint M d'affixe z et different de A associe le point M' d'affixe

Je ne connais pas la formule pour faire z barre donc je mets "zc". zc = conjugué de z.

1)a. Calculer l'affixe du point P' image par f du point P d'affixe (1+i).





Est-ce bon ?

b. Prouvez que (AP)//(BP')
Je ne sais comment le faire... faut-il montrer que ?

c. Prouvez que (AP) et (PP') sont perpendiculaires.
Je ne sais pas non plus... Calcul d'angle ? Trigonométrie ?

2. Montrer l'ensemble des points invariants par f.
Je ne comprends même pas la question...

Merci d'avance !

[XENSECP]

Pourquoi tu fais 40 étapes à la fois ?

[Pixis]

1.a) Oui c'est correct
b) il s'agit de démontrer que c'est à dire que les deux vecteurs sont colinéaires
c) Le royaume du produit scalaire ...

2. Un point A est invariant par f si f(A)=A

[Inogood]

1)a. D'accord merci
b.









Donc... on peut dire que les vecteurs sont colinéaires et par consequent (AP)//(BP')

[Pixis]

Oui
Maintenant l'histoire de la perpendicularité

[Inogood]

Donc faut faire en sorte que



C'est cela ?

[Pixis]

Donc faut faire en sorte que

oui



est un réel
est un vecteur
Donc l'égalité n'a pas de sens (et un carré de vecteur n'a pas de sens non plus)

Non, on a les coordonnées des vecteurs, donc il existe une autre formule pour le produit scalaire

[Inogood]

Ah oui en effet, l'utilisation des coordonnées.
c'est le théorème d'Al-Kashi, il me semble.

Dans mon livre d’entrainement, la formule suivante apparait sur le cours :

sont orthogonaux (zD-zC)/(zB-zA) est imaginaire pure.

enfin bon peu importe,






Donc comme alors ils sont orthogonaux et ainsi (AP) perpendiculaire (PP')

[Pixis]

Dans mon livre d’entrainement, la formule suivante apparait sur le cours :

sont orthogonaux (zD-zC)/(zB-zA) est imaginaire pure.

Parfaitement, puisqu'un imaginaire a un argument de 90°, c'est aussi une bonne méthode


Bon et le point M d'affixe z est invariant par f si f(z)=z

[Inogood]

Malgré ton explication, je ne comprends toujours par la question 2)

Faut montrer que f(A)=A, mais, en gros je dois faire

A' = zc(a)(za-2)/(zc(a)-2) ? Pas sur de comprendre...

[Pixis]

Non, en fait tu as une fonction f définie par :
avec

Donc il faut que tu trouves les z tels que f(z)=z, ou en d'autres termes, les z tels que


Pour info, le conjugué de z s'écrit \overline{z} en Tex

[Inogood]

J'y arrive pas, je fais :

Comme :
Alors :


Si je remplace les z et par (x+iy) et (x-iy) je trouve z = x-iy
Si je continue je tombe sur



Si je transforme ca donne :


... Je ne sais pas quand mettre x+iy ...

[Pixis]

Si je transforme ca donne :

Ta "transformation" est incorrecte et de toute manière le dernier z de ta première ligne doit être un z barre.


donc

donc ...

[Inogood]

J'y arrive pas, je fais :

Comme :
Alors :


Si je remplace les z et par (x+iy) et (x-iy) je trouve z = x-iy

Ne suis-je pas supposé trouver un resultat sous la forme de z = n*i ? n étant un entier quelconque.

Donc x+iy=x-iy
iy = -iy
-y^2 = 0
Donc... y=0 mais je suis juste embrouillé. Je ne vois pas du tout ou je vais en fait ...

[Pixis]

Pardon je n'avais pas vu le "alors z = x-iy" qui est correct

Donc en effet, y = 0 ce qui veut dire que z = x
Donc quels sont les points invariants par f ?

[Inogood]

Tous les points sur l'axe des abscisses? ?

[Pixis]

mmmh oui, mais dans le plan complexe, l'axe des abscisses représente quoi ?
Quand j'écris y = x + iy
x et y appartiennent à quel ensemble ?

(On va y arriver !)

[Inogood]

x c'est les nombres réels (donc sur R) et y les nombres imaginaire (donc sur I ou C)

donc tant que z est un réel pure, z'=z ?

[Pixis]

Tant que z est un réel (un réel est, par définition, un réel pur), alors z=z'
Donc tous les réels sont invariant par f ! Voilà !

[Inogood]

Merci bien Pixis (pour la deuxième fois aujourd'hui, quel membre dévoué ) ! J'ai une dernière question, as-tu un logiciel qui code en TeX ? J'en avais un vraiment génial, mais je l'ai perdu après une mise a jour de mon ordinateur. Sinon merci aussi pour le \overline, je pense qu'il va m’être utile pour les prochaines semaines (enfin j’espère pas trop non plus).