Nombres Complexes / Rotation Et Homothétie Dans Le Plan Complexe.

[noobclem]

woops !! Bonne Année !

[Florélianne]

Bonsoir,
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct .
Soit (C) le cercle de centre O et de rayon 1.
On considère le point A de (C) d'affixe .

1. Déterminer l'affixe zB du point B image de A par la rotation de centre O et d'angle .

Comme le centre de la rotation est O la rotation ajoute à l'argument de A qui était pi/3
donc Zb= e^i(2pi/3 + pi/3) = e^3ipi/3 = e^ipi

Déterminer l'affixe zC du point C image de B par la rotation de centre O et d'angle .

Zc = e^i(pi+2pi/3) = e^i5pi/3 = e^-ipi/3

2. a) Justifier que (C) est le cercle circonscrit au triangle ABC. Construire les points A, B et C sur la feuille de papier millimétré.

Les points A , B et C ont pour module 1 ,donc ils sont sur le cercle de contre O de rayon 1 : (C)
Donc (C) est le cercle circonscrit au triangle ABC

b. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.

Dans la rotation rde centre O d'angle 2pi/3 :
A ---> B
B ---> C
une rotation est une isométrie
donc AB = BC
le triangle ABC est isocèle de base [AC]


3. Soit h l'homothétie de centre O et de rapport -2.

a. Compléter la figure en plaçant les points P, Q et R images respectives des points A, B et C par h.

b. Quelle est la nature du triangle PQR ? Justifier.
par l'homothétie h de centre O de rapport -2 :
A ---> P tel que OP = -2 OA (le vecteur est noté par le soulignement)
B ---> Q tel que OQ = -2 OB
C ---> R tel que OR = -2 OC
donc h multiplie le module des points A , B et C par - 2
QP = QO + OP
PQ = 2 OB - 2 OA = -2 BO - 2 OA = -2(BO + OA) = -2 BA
QR = QO + OR
PR = 2 OB - 2 OC = -2 BO - 2 OC = -2(BO + OC) = -2 BC

le triangle ABC est isocèle en B donc llBAll = llBCll

donc llPQll = ll-2BAll = 2llBAll = 2llBCll = ll-2BCll = llPRll
donc le triangle PQR est isocèle en Q

4. Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas.

a. Donner l'écriture complexe de h.
L'homothétie de centre O de rapport 2 transforme tout point du plan d'affixe
z = me^ia en point du plan d'affixe z'= m'e^-ia'
mais z'=-2me^ia
-2m est négatif, il ne peut pas être le module de z', lz'l=2m
donc il faut que e^ia' = - e^ia
donc a' = a+pi
z'= 2m e^i(a+pi)

b. Calculer zA+zB+zC . En déduire que A est le milieu du segment [QR].
Za + Zb + Zc = e^ipi/3 + e^ipi + e^-ipi =
= cos(pi/3)+isin(pi/3) + cos(pi) + isin(pi) + cos(-pi/3) + isin(-pi/3) =
= 1/2 + isin(pi/3) -1 + 0 + 1/2 -isin(pi/3) = 0
OA + OB + OC = 0 O centre de gravité de ABC
OA = BO + CO
OA = -1/2 QO + -1/2 RO = -1/2(QO + RO)
OR + RA = -1/2(QR+RO+RO)
OR + RA = -1/2 (QR + 2RO)
OR + RA = -1/2 QR - RO
OR + RA + RO = -1/2 QR
RA = 1/2 RQ
A est le milieu de [RQ]

c. Que peut-on dire de la droite (QR) par rapport au cercle (C) ?

llOQll= ll-2OBll = 2llOBll = 2
llORll = ll-2OCll= 2llOCll = 2
donc O est équidistant de Q et R
comme A est le milieu de [QR], A est équidistant de Q et R
donc (OA) est la médiatrice de [QR]
donc les droites (QR) et (OA) sont perpendiculaires
la droite (QR) est la droite qui passe par le point A du cercle (C) de centre O et qui est perpendiculaire à (OA)
donc (QR) est la tangente à (C) en A

Voilà, c'est une façon de faire ! Elle ne doit pas être unique... j'ai peu-être été longue parfois, ne connaissant plus les programmes, j'ai utilisé le minimum de propriétés, et donc sans doute redémontré des propriétés du cours...
Très cordialement