Une équation fonctionnelle TS

[Georges Leroy]

Bonjour ! J'aurais besoin d'aide pour un DM sur une équation fonctionnelle ! Voici le problème

Pour tout

1_Montrer qu'il existe deux fonctions constantes vérifiant cette équation fonctionnelle.

Je pense que il y a la fonction nulle. Mais je ne trouve pas l'autre ! J'ai pensé à la fonction qui à x associe 2 mais je ne suis pas sûr :hum:

2_On fixe x et on considère la seule variable y : on considère donc les fonctions y -> f(x+y) et y->f(x)f(y) (x est une constante)
Dériver la relation définie par l'équation fonctionnelle (par rapport) à y




Donc ?

Merci d'avance!

[Rebelle_]

Bonjour :)

Il me semble que les fonctions f non nulles et dérivables sur R telles que pour tous x et y réels f(x+y) = f(x)f(y) soient les fonctions x -> e^{kx} où k est un réel... ;)
Comment le démontrer ? :P

:)

[Nightmare]

Salut,

1. Oui, la fonction constante égale à 0 est solution.

Si je prends f la fonction constante égale à 2 alors pour tout x et y , f(x+y)=2 mais f(x)f(y)=2*2=4 ! Donc cette fonction n'est pas solution. Par contre, la fonction constante égale à 1 elle convient !

2. Non ce n'est pas bon, déjà, première ligne, je ne comprends pas pourquoi tu écris ? C'est plutôt !

Ensuite, x est fixé donc c'est comme si c'était ici une constante. Il en va donc de même pour f(x), dont la dérivée par rapport à y est donc nulle ! (comme une constante). Et, toujours en dérivant par rapport à y, on a que par la formule avec une constante.

Au final on obtient donc pour tout x et y,

:happy3:

[Georges Leroy]

Bonjour

Il me semble que les fonctions f non nulles et dérivables sur R telles que pour tous x et y réels f(x+y) = f(x)f(y) soient les fonctions x -> e^{kx} où k est un réel...
Comment le démontrer ?

Oui la fonction exponentielle ! Mais dans la question, il est demandé deux fonctions constantes ! Et exponentielle n'en est pas une non ?

[Rebelle_]

Tout dépend de la valeur de k ;) Par exemple, si k est nul ?

[Georges Leroy]

Salut,

1. Oui, la fonction constante égale à 0 est solution.

Si je prends f la fonction constante égale à 2 alors pour tout x et y , f(x+y)=2 mais f(x)f(y)=2*2=4 ! Donc cette fonction n'est pas solution. Par contre, la fonction constante égale à 1 elle convient !

2. Non ce n'est pas bon, déjà, première ligne, je ne comprends pas pourquoi tu écris ? C'est plutôt !

Ah oui faute de frappe, autant pour moi :hum:

Ah, d'accord ! Merci beaucoup :we:

[Georges Leroy]

Tout dépend de la valeur de k Par exemple, si k est nul ?

Alors e^0=1 !

[Georges Leroy]

Donc!

2_On fixe x et on considère la seule variable y : on considère donc les fonctions y -> f(x+y) et y->f(x)f(y) (x est une constante)
Dériver la relation définie par l'équation fonctionnelle (par rapport) à y

avec une constante


3_Que devient cette égalité pour y=0




4_Résoudre l'équation différentielle obtenue à la question 3



Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions de la forme

?

5_A quelle condition sur K la fonction x-> est-elle solution de l'équation fonctionnelle ?

[Georges Leroy]

Donc!

2_On fixe x et on considère la seule variable y : on considère donc les fonctions y -> f(x+y) et y->f(x)f(y) (x est une constante)
Dériver la relation définie par l'équation fonctionnelle (par rapport) à y

avec une constante


3_Que devient cette égalité pour y=0




4_Résoudre l'équation différentielle obtenue à la question 3



Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions de la forme

?

5_A quelle condition sur K la fonction x-> est-elle solution de l'équation fonctionnelle ?

[Nightmare]

C'est correct !

Pour la 5 je ne comprends pas trop la question, a priori pour n'importe quelle valeur de K les fonctions obtenues sont solutions !

[Georges Leroy]

C'est correct !

Pour la 5 je ne comprends pas trop la question, a priori pour n'importe quelle valeur de K les fonctions obtenues sont solutions !

Merci :id: !

Ah, ben moi non plus. J'avais pensé à dire qu'il fallait que K soit égal à 0 ou 1, les deux fonctions constantes de la question 1 qui vérifiaient l'équation fonctionnel, vu que on a considérer x comme une constante..

[Georges Leroy]

C'est correct !

Pour la 5 je ne comprends pas trop la question, a priori pour n'importe quelle valeur de K les fonctions obtenues sont solutions !

Merci :id: !

Ah, ben moi non plus. J'avais pensé à dire qu'il fallait que K soit égal à 0 ou 1, les deux fonctions constantes de la question 1 qui vérifiaient l'équation fonctionnel, vu que on a considérer x comme une constante..

[sad13]

je pense qu'il veut qu'on désigne un K précis en utilisant la condition initiale : f(0)=....

ceci dit , je trouve que c'est assez costaud comme exo de TS même si certes les outils sont au programme

[Nightmare]

Il n'y a aucune difficulté particulière, à part le fait de bien comprendre ce qu'il se passe quand on dérive par rapport à y en fixant x.

[Georges Leroy]

je pense qu'il veut qu'on désigne un K précis en utilisant la condition initiale : f(0)=....

ceci dit , je trouve que c'est assez costaud comme exo de TS même si certes les outils sont au programme

Je vois pas ce qu'est la condition initiale ici =S

[sad13]

oui en effet.
Sinon pour le K qu'en penses tu?
on calcule pour x =0 et je pense que c'est bon .

[Georges Leroy]

Et bien, j'avais pensé que K devait être soit 0 ou soit 1 !
Et ce parce que on a fixé f(x) constante, et à la question 1, on a dit que les deux fonctions constantes vérifiant l'équation fonctionnelle étaient la fonction nulle et la fonction constante qui à x associe 1!

[sad13]

Si on veut résumer f est soit la fonction nulle, soit la fonction constante égale à 1 et aussi je dirai exp(kx) pr k réel

[Georges Leroy]

Si on veut résumer f est soit la fonction nulle, soit la fonction constante égale à 1 et aussi je dirai exp(kx) pr k réel

Oui, exactement !

Donc il faut que Ke^ax = 0
Ou Ke^ax=1
Ou Ke^ax = e^kx ?

[Georges Leroy]

Si on veut résumer f est soit la fonction nulle, soit la fonction constante égale à 1 et aussi je dirai exp(kx) pr k réel

Oui, exactement !

Donc il faut que Ke^ax = 0
Ou Ke^ax=1
Ou Ke^ax = e^kx

Et je résoud ça ?