Logarithme Népérien et équation fonctionnelle

[Soussou]

Bonjour,
Voici un exercice où je bloque sur la 3ème question:

On s'intéresse aux fonctions f définies sur ]0;+00[ telles que: pour tout x et y de ]0;+00[, f(x*y) = f(x)+f(y): c'est la relation (R).
1) Poser x=y=1 dans la relation (R) pour déduire la valeur de f(1).
J'ai trouvé f(1) = 0
2) Poser y= pour en déduire l'expression de f en fonction de f(x).
J'ai trouvé f = - f(x)
3) Poser y = ( est une constante strictement positive)
a) Dériver la relation (R) en fonction de x de chaque côté du " = ".
Voici ce que j'ai fait mais je ne suis pas sûre:
[f(x*)]' = f'(x) + f'() (f() étant une constante)
(x*)'f'(x*) = f'(x) + 0
f'(x*) = f'(x)

b) En déduire que f'() = où k est une constante à déterminer.
C'est cette question qui me met le doute sur ma réponse précédente car avec la dérivée que j'ai trouvée, je ne sais pas comment faire pour répondre à la question b).
4) Faire les liens avec la fonction ln pour chaque question en utilisant les propriétés du cours.
Pour la 1) f(1) = 0 ln(1) = 0
Pour la 2) f() = - f(x) ln() = -ln(x)
Pour la 3) ??? vu que je n'ai pas la bonne réponse.

Merci de votre aide !!!

[Ben314]

Salut,
C'est tout bon modulo quelques remarques :
- Ça me semble important de signaler que l'énoncé déconne vu qu'il demande dans la question 3)a) de dériver la fonction f alors qu'il n'est nulle art précisé qu'on suppose qu'elle est dérivable (je pense que tu as vu que, par exemple les fonctions x->|x| et x->racine(x) ne sont pas dérivable en 0)
- Au niveau de la rédaction, dans le 3)a), ton f'(y0) de la première ligne ne va pas : ce que tu dérive, c'est la fonction (constante) x->f(y0) et cette fonction, tu n'a bien sur pas le droit de l'appeler f vu que f, c'est la fonction (non constante à priori) x->f(x) donc pas la même.
Par contre, là où on voit que tu as parfaitement compris, c'est que la ligne suivante, tu écrit bien que ça fait 0 (dérivée d'une fonction constante).

Sinon, concernant le 3)b), il suffit de voir que ce que tu as écrit au 3)a), c'est valable pour tout x>0 donc c'est en particulier valable pour x=1...

[Soussou]

Merci Ben pour ta réponse.
Donc en 3)b) en remplaçant x par 1 je trouve: f'() =
Et pour terminer le 4, le lien avec le 3)b) est:
ln'
Est-ce bien ça?

[Ben314]

Oui, tout à fait.
Et tu peut même écrire que, si f(x)=ln(x) alors k=f'(1)=ln'(1)=1.

[Soussou]

MERCI !!!