[Résolu] Equation fonctionnelle [TS]

[mathelot]

bonsoir,

Soit telle que




i)Calculer les images du segment [|0;10|] par f
ii)déterminer le ou les applications vérifiant ces propriétés

merci.

[chan79]

bonsoir,

Soit telle que




i)Calculer les images du segment [|0;10|] par f
ii)déterminer le ou les applications vérifiant ces propriétés

merci.

Salut

Montre d'abord que f(0)=0

[mathelot]

f(0)=0; f(1)=1

je cherche pour f(3),f(7)

[Mikihisa]

f(0)=0.
f(1)=1.
f(2) = f(1^2 + 1^2) = 2*f(1)^2 = 2.
f(4) = f(2)^2 = 4.
f(5) = f(2)^2 + f(1)^2 = 5.
f(8) = f(2^2 + 2^2) = 2f(2)^2 = 8.

f(3)^2+f(4)^2 = f(9+16) = f(25) = f(5)^2 = 25
Donc f(3)^2 = 25-f(4)^2 = 9.
On en déduit que :
f(3)=3.
f(9)=9.

Puis par suite
f(10)= f(3^2+1) = f(3)^2 + 1 = 10.

Il manque f(6) et f(7).
Tu peux remarquer, dans le même genre que :
100 = 36 + 64 = 6^2 + 8^2
Et je te laisse chercher un peu pour f(7).

[Mikihisa]

S'il s'agit d'un DM, n'oublie pas de préciser que f(1)=1 car f(1)>0, en effet sans cette condition on pourrais avoir f(1)=0 (car 0^2=0).

[Tiruxa]

Bon je ne sais pas si c'est la solution la plus courte mais j'ai trouvé cela pour f(7).

f(7²+24²)=f(25²)=f(25)²=f(5²)²=f(5)^4=5^4=625
donc f(7)²+f(24)²=625
de plus
f(24²+10²)=f(26²)=f(26)²=f(5²+1²)²=(f(5)²+f(1)²)²=26²=676
donc f(24)²+f(10)²=676
ou f(24)²=676-100=576

On a donc en remplaçant
f(7)²+576=625
d'où f(7)²= 49 donc f(7)=7

[chan79]

Bon je ne sais pas si c'est la solution la plus courte mais j'ai trouvé cela pour f(7).

f(7²+24²)=f(25²)=f(25)²=f(5²)²=f(5)^4=5^4=625
donc f(7)²+f(24)²=625
de plus
f(24²+10²)=f(26²)=f(26)²=f(5²+1²)²=(f(5)²+f(1)²)²=26²=676
donc f(24)²+f(10)²=676
ou f(24)²=676-100=576

On a donc en remplaçant
f(7)²+576=625
d'où f(7)²= 49 donc f(7)=7

on peut aussi écrire
f(7²+1²)=f(5²+5²)

[fatal_error]

l'algo s'écrit assez facilement
Mais de là à montrer que pour un n à déterminer,
qu'il existe toujours m, tq
f(n)^2 = f(n^2+m^2) - f(m)^2, avec f(m) déterminable, et f(n^2+m^2) déterminable, pas facile (pour moi)

Code: Tout sélectionner

function Tree(val, a,b){
  this.val=val;
  this.a=a;
  this.b=b;
}
Tree.prototype.innerToString=function(){
  return 'f('+this.val+')=f('+this.a.val+')^2 + f('+this.b.val+')^2';
}
Tree.prototype.toString=function(offset, history){
  if(typeof(offset)=='undefined'){
    offset = '';
  }
  if(typeof(history)=='undefined'){
    history = {values:[]};
  }
  if(history.values.indexOf(this.val)==-1){
    history.values.push(this.val);
    var str = [offset+this.innerToString()];
    str.push(this.a.toString(offset+'.', history));
    str.push(this.b.toString(offset+'.', history));
    str.push(offset+'->'+this.value());
    return str.join('\n');
  }
  return offset+'->remind f('+this.val+')='+this.value();
}
Tree.prototype.value=function(){
  var r=this.a.value();
  var s=this.b.value();
  return r*r+s*s;
}
function MinusTree(val, a,b){
  Tree.call(this, val, a,b);
}
function TerminalNode(val){
  Tree.call(this, val);
}
TerminalNode.prototype = new Tree;
TerminalNode.prototype.toString=function(offset){
  if(typeof(offset)=='undefined'){
    offset = '';
  }
  return offset+'f('+this.val+')='+this.val;
}
TerminalNode.prototype.value=function(){
  return this.val;
}
MinusTree.prototype = new Tree;
MinusTree.prototype.innerToString=function(){
  return 'resolving: f('+this.val+')=sqrt(f('+this.a.val+')^2 - f('+this.b.val+')^2)';
}
MinusTree.prototype.value=function(){
  var r=this.a.value();
  var s=this.b.value();
  return Math.sqrt(r*r - s*s);
}
function Map(){
  this.map=[];
  this.tree={};
}
Map.prototype.has = function(k){
  return this.map.indexOf(k)!=-1;
}
Map.prototype.store = function(val,a,b){
  this.map.push(val);
  if(arguments.length==1){
    this.tree[val] = new TerminalNode(val);
  }else{
    this.tree[val] = new Tree(val, a,b);
  }
}
Map.prototype.minusStore = function(val,a,b){
  this.map.push(val);
  this.tree[val] = new MinusTree(val, a,b);
}
Map.prototype.get = function(k){
  return this.tree[k];
}
var map = new Map;
map.store(0);
map.store(1);
var exclusionList = [];
function couple(a,b){//integers
  var c = a*a+b*b
  if(!map.has(c)){
    map.store(c, f(a),f(b));
  }
  return map.get(c);
}
/**
  a:int
  returns Tree
*/
function f(a){
  if(!map.has(a)){
    f.resolve(a);
  }
  return map.get(a);
}
function isSquare(a){
  var t = Math.round(Math.sqrt(a))
  return Math.abs(t*t - a)<1e-9
}
function isDoubleSquare(a){
  if(a%2==0){
    a/=2;
    return isSquare(a);
  }
  return false;
}
function getSumSquare(a){
  for(var i=1; i*i<a; ++i){
    var b=a-i*i;
    if(isSquare(b)){
      return [i, Math.round(Math.sqrt(b))];
    }
  }
}
function minusSquare(a){
  var i=0;
  var candidates=[];
  while(++i && i<=(a*a-1)/2){
    if(exclusionList.indexOf(i)!=-1){
      continue;
    }
    var c = a*a+i*i;
    var t = Math.round(Math.sqrt(c));
    if(isSquare(c)){
      candidates.push( [t,i] )
    }
  }
  return candidates;
}
f.resolve = function(a){//int
  if(isDoubleSquare(a)){
    var t = Math.round(Math.sqrt(a/2));
    map.store(a, f(t), f(t));
    return map.get(a);
  }
  if(isSquare(a)){
    var t = Math.round(Math.sqrt(a));
    map.store(a, f(t), f(0));
    return map.get(a);
  }
  var sumsq = getSumSquare(a);
  if(sumsq){
    exclusionList.push(a);
    map.store(a, f(sumsq[0]), f(sumsq[1]));
    exclusionList.pop();
    return map.get(a);
  }
 
  var candidates = minusSquare(a);
  exclusionList.push(a);
  var res = candidates.some(function(c){
    if(!f(c[0]) || !f(c[1])){
      return false;
    }
    map.minusStore(a, f(c[0]), f(c[1]));
    return true;
  });
  exclusionList.pop();
  return map.get(a);
}

console.log(f(33).toString());
console.log(f(165).toString());


puis alors montrer que x convient et qu'en plus c'est la seule solution oO

[mathelot]

A propos des sommes de deux carrés,


Triplets Pythagoriciens

Thm des deux carrés


on sait



on s'intéresse alors aux entiers premiers, pour savoir s'ils sont somme de deux carrés.

Propriété: Les nombres premiers de la forme sont somme de deux carrés
(d'après l'écriture générale des triplets pythagoriciens)


théorème: un entier est somme de deux carrés si , et seulement si, dans sa décomposition en facteurs premiers,
les facteurs premiers de la forme sont élevés à une puissance paire.

Et comment faire pour déterminer f(x) dans les cas non décrits, comme par exemple:



remarque: je n'ai pas l'énoncé exact, je ne sais pas si on devait démontrer que f=Id (?)

[paquito]

On soupçonne clairement une fonction linéaire, voire l'identité; toutefois je n'ai vu nulle par le calcul qui conduisait à f(1)=1 et si a est un entier >1 la fonction x->ax vérifie :

; sauf si j'ai fait une grossière erreur cela signifie qu'il y a plusieurs possibilités et à mon avis f est déterminée par f(1) (y a t'il d'autres possibilités, à mon avis non, mais c'est à prouver).

Hypothèse à confirmer.

[mathelot]

car supposé non nul

[paquito]

car supposé non nul


si






f est elle "multivoque" ,ie, avec plusieurs possibilités pour f(x)
pour un même x ?

un même entier ayant parfois de nombreuses décompositions comme somme de deux carrés.

Effectivement, j'ai appliqué le carré à n plutôt qu'à f(n) ((j'aurais plutôt écrit ). Ma remarque est donc totalement hors sujet!

[fatal_error]

@mathelot,

pas très glorieux pour 15,33,165
mais bon voilà comment les trouver:
15

Code: Tout sélectionner

resolving: f(15)=sqrt(f(17)^2 - f(8)^2)
.f(17)=f(1)^2 + f(4)^2
..f(1)=1
..f(4)=f(2)^2 + f(0)^2
...f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
....f(1)=1
....f(1)=1
...->2
...f(0)=0
..->4
.->17
.f(8)=f(2)^2 + f(2)^2
..f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
...f(1)=1
...f(1)=1
..->2
..f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
...f(1)=1
...f(1)=1
..->2
.->8
->15


33

Code: Tout sélectionner

resolving: f(33)=sqrt(f(65)^2 - f(56)^2)
.f(65)=f(1)^2 + f(8)^2
..f(1)=1
..f(8)=f(2)^2 + f(2)^2
...f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
....f(1)=1
....f(1)=1
...->2
...f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
....f(1)=1
....f(1)=1
...->2
..->8
.->65
.resolving: f(56)=sqrt(f(70)^2 - f(42)^2)
..resolving: f(70)=sqrt(f(74)^2 - f(24)^2)
...f(74)=f(5)^2 + f(7)^2
....f(5)=f(1)^2 + f(2)^2
.....f(1)=1
.....f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
......f(1)=1
......f(1)=1
.....->2
....->5
....resolving: f(7)=sqrt(f(25)^2 - f(24)^2)
.....f(25)=f(5)^2 + f(0)^2
......f(5)=f(1)^2 + f(2)^2
.......f(1)=1
.......f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
........f(1)=1
........f(1)=1
.......->2
......->5
......f(0)=0
.....->25
.....resolving: f(24)=sqrt(f(26)^2 - f(10)^2)
......f(26)=f(1)^2 + f(5)^2
.......f(1)=1
.......f(5)=f(1)^2 + f(2)^2
........f(1)=1
........f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
.........f(1)=1
.........f(1)=1
........->2
.......->5
......->26
......f(10)=f(1)^2 + f(3)^2
.......f(1)=1
.......resolving: f(3)=sqrt(f(5)^2 - f(4)^2)
........f(5)=f(1)^2 + f(2)^2
.........f(1)=1
.........f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
..........f(1)=1
..........f(1)=1
.........->2
........->5
........f(4)=f(2)^2 + f(0)^2
.........f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
..........f(1)=1
..........f(1)=1
.........->2
.........f(0)=0
........->4
.......->3
......->10
.....->24
....->7
...->74
...resolving: f(24)=sqrt(f(26)^2 - f(10)^2)
....f(26)=f(1)^2 + f(5)^2
.....f(1)=1
.....f(5)=f(1)^2 + f(2)^2
......f(1)=1
......f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
.......f(1)=1
.......f(1)=1
......->2
.....->5
....->26
....f(10)=f(1)^2 + f(3)^2
.....f(1)=1
.....resolving: f(3)=sqrt(f(5)^2 - f(4)^2)
......f(5)=f(1)^2 + f(2)^2
.......f(1)=1
.......f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
........f(1)=1
........f(1)=1
.......->2
......->5
......f(4)=f(2)^2 + f(0)^2
.......f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
........f(1)=1
........f(1)=1
.......->2
.......f(0)=0
......->4
.....->3
....->10
...->24
..->70
..resolving: f(42)=sqrt(f(58)^2 - f(40)^2)
...f(58)=f(3)^2 + f(7)^2
....resolving: f(3)=sqrt(f(5)^2 - f(4)^2)
.....f(5)=f(1)^2 + f(2)^2
......f(1)=1
......f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
.......f(1)=1
.......f(1)=1
......->2
.....->5
.....f(4)=f(2)^2 + f(0)^2
......f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
.......f(1)=1
.......f(1)=1
......->2
......f(0)=0
.....->4
....->3
....resolving: f(7)=sqrt(f(25)^2 - f(24)^2)
.....f(25)=f(5)^2 + f(0)^2
......f(5)=f(1)^2 + f(2)^2
.......f(1)=1
.......f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
........f(1)=1
........f(1)=1
.......->2
......->5
......f(0)=0
.....->25
.....resolving: f(24)=sqrt(f(26)^2 - f(10)^2)
......f(26)=f(1)^2 + f(5)^2
.......f(1)=1
.......f(5)=f(1)^2 + f(2)^2
........f(1)=1
........f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
.........f(1)=1
.........f(1)=1
........->2
.......->5
......->26
......f(10)=f(1)^2 + f(3)^2
.......f(1)=1
.......resolving: f(3)=sqrt(f(5)^2 - f(4)^2)
........f(5)=f(1)^2 + f(2)^2
.........f(1)=1
.........f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
..........f(1)=1
..........f(1)=1
.........->2
........->5
........f(4)=f(2)^2 + f(0)^2
.........f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
..........f(1)=1
..........f(1)=1
.........->2
.........f(0)=0
........->4
.......->3
......->10
.....->24
....->7
...->58
...f(40)=f(2)^2 + f(6)^2
....f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
.....f(1)=1
.....f(1)=1
....->2
....resolving: f(6)=sqrt(f(10)^2 - f(8)^2)
.....f(10)=f(1)^2 + f(3)^2
......f(1)=1
......resolving: f(3)=sqrt(f(5)^2 - f(4)^2)
.......f(5)=f(1)^2 + f(2)^2
........f(1)=1
........f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
.........f(1)=1
.........f(1)=1
........->2
.......->5
.......f(4)=f(2)^2 + f(0)^2
........f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
.........f(1)=1
.........f(1)=1
........->2
........f(0)=0
.......->4
......->3
.....->10
.....f(8)=f(2)^2 + f(2)^2
......f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
.......f(1)=1
.......f(1)=1
......->2
......f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
.......f(1)=1
.......f(1)=1
......->2
.....->8
....->6
...->40
..->42
.->56
->33


165

Code: Tout sélectionner

resolving: f(165)=sqrt(f(173)^2 - f(52)^2)
.f(173)=f(2)^2 + f(13)^2
..f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
...f(1)=1
...f(1)=1
..->2
..f(13)=f(2)^2 + f(3)^2
...f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
....f(1)=1
....f(1)=1
...->2
...resolving: f(3)=sqrt(f(5)^2 - f(4)^2)
....f(5)=f(1)^2 + f(2)^2
.....f(1)=1
.....f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
......f(1)=1
......f(1)=1
.....->2
....->5
....f(4)=f(2)^2 + f(0)^2
.....f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
......f(1)=1
......f(1)=1
.....->2
.....f(0)=0
....->4
...->3
..->13
.->173
.f(52)=f(4)^2 + f(6)^2
..f(4)=f(2)^2 + f(0)^2
...f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
....f(1)=1
....f(1)=1
...->2
...f(0)=0
..->4
..resolving: f(6)=sqrt(f(10)^2 - f(8)^2)
...f(10)=f(1)^2 + f(3)^2
....f(1)=1
....resolving: f(3)=sqrt(f(5)^2 - f(4)^2)
.....f(5)=f(1)^2 + f(2)^2
......f(1)=1
......f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
.......f(1)=1
.......f(1)=1
......->2
.....->5
.....f(4)=f(2)^2 + f(0)^2
......f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
.......f(1)=1
.......f(1)=1
......->2
......f(0)=0
.....->4
....->3
...->10
...f(8)=f(2)^2 + f(2)^2
....f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
.....f(1)=1
.....f(1)=1
....->2
....f(2)=f(1)^2 + f(1)^2
.....f(1)=1
.....f(1)=1
....->2
...->8
..->6
.->52
->165



[mathelot]

En quel langage est-ce écrit ?

[zygomatique]

salut




f(0) = 0 et f(1) = 1

donc

si n = m alors

on en déduit que l'image d'un pair (impair) est pair (impair) puisqu'un entier et son carré ont même parité ....




de tout cela il ne reste guère de choix qu'une fonction linéaire .... de pente 1 ....

[mathelot]

il n'y a pas des pairs comme 12 ou 34 qui ne sont pas somme de deux carrés ?

c'est le souci non résolu: il y a une infinité d'entiers qui ne sont pas somme de deux carrés;il suffit qu'ils aient un facteur premier 4k+3 avec un exposant impair.

[fatal_error]

En quel langage est-ce écrit ?

c'est du javascript, mais bon même l'algo est bancal, en l'état ca n'a que peu d'intérêt à part pour conjecturer.

quant à f(a+1)=f(a)+1, je pige pas pourquoi c'est une fonction linéaire.
A priori pour montrer que c'est une fonction linéaire, il faut montrer que
f(ax+by)=af(x)+bf(y) non?

[mathelot]

je reste sur ma faim (je ne sais si la question (2) est faisable)

les soucis:

- il y a des entiers qui ne sont pas somme de deux carrés.

- il y a des entiers qui sont somme de deux carrés de k façons différentes ( par ex)

quand on définit par , il faudrait vérifier que ça ne dépend pas du couple sinon la fonction est "multivoque", avec plusieurs valeurs pour .

[paquito]

Bonjour,

la seule chose qui soit sûre, c'est, car zygomatique a montré qu'alors d'où et donc vérifie équations fonctionnelles:

(1) et

(2);

(2) permet d'affirmer que toute fonction linéaire avec entier>0 pourrait être solution, mais (1) impose et donc pour l'instant nous n'avons que l'application identique.

La recherche d'une fonction f définie sur et dérivable vérifiant conduit àdonc à une fonction de période 1, ce qui n'est pas incompatible avec , mais ne nous apporte pas grand chose et ne nous sort pas de l'application identique!

[mathelot]