Arithmétique marrant

par **benekire2** » 29 Nov 2010, 20:35

Un problème pas trop dur que je vient de lire :

Existe - il un entier n tel que la somme des chiffres de (n-1)n valent 2000 ?

Bon travail :lol3:

par **Doraki** » 29 Nov 2010, 21:52

S'il est pas trop dur c'est que la réponse est oui.
J'ai un n qui va bien mais il est trop long à écrire.

par **Ben314** » 29 Nov 2010, 22:48

Salut,
Je propose

ou

par **Dinozzo13** » 30 Nov 2010, 09:10

Salut Benekire !

Ne serait-ce pas plutôt

Lol3

par **Ben314** » 30 Nov 2010, 09:51

Dinozzo13 a écrit:Salut Benekire !

Ne serait-ce pas plutôt Lol3

Dans ce cas, il n'y a trivialement pas de solutions...

par **benekire2** » 30 Nov 2010, 10:05

Ben314 a écrit:Dans ce cas, il n'y a trivialement pas de solutions...

Oui je me suis planter, de section et d enonce,et c est trivial a partir du moment ou on sait qie la somme des chiffres est congrue au nombre modulo 9.

par **nodjim** » 30 Nov 2010, 18:53

Maintenant, le plus marrant serait de calculer le plus petit nombre qui a cette propriété...

par **benekire2** » 30 Nov 2010, 19:09

nodjim a écrit:Maintenant, le plus marrant serait de calculer le plus petit nombre qui a cette propriété...

Oui pour l'énoncé faux : n(n-1)

par **Doraki** » 30 Nov 2010, 19:36

nodjim a écrit:Maintenant, le plus marrant serait de calculer le plus petit nombre qui a cette propriété...

ben sachant qu'il a au moins 100 chiffres, je doute qu'on puisse le trouver très rapidement.

par **nodjim** » 30 Nov 2010, 20:00

Il y en a sûrement en dessous du 14*10^221 de Ben. En trouver un seul est déja un beau casse tête.

par **Ben314** » 30 Nov 2010, 22:16

nodjim a écrit:Il y en a sûrement en dessous du 14*10^221 de Ben. En trouver un seul est déja un beau casse tête.

Si ça t'amuse de continuer la série, il est façile de vérifier que, pour tout entier a congru à 2, 5 ou 8 modulo 9 et "pas trop grand" (je pense a<10^100...) il existe un unique k tel que n=a.10^k marche, mais pour trouver k, il faut calculer la somme des chiffres de a-1 et celle de a²-1...

Allez, mon dernier mot :

par **nodjim** » 01 Déc 2010, 17:46

Je cherche une autre série....

par **nodjim** » 04 Déc 2010, 11:26

Oh, je n'avais pas bien lu ce nombre. Ce 8.87*10^214-16911 a une écriture régulière pour son n(n-1) ?

par **Ben314** » 04 Déc 2010, 14:10

nodjim a écrit:Oh, je n'avais pas bien lu ce nombre. Ce 8.87*10^214-16911 a une écriture régulière pour son n(n-1) ?

Oui........

par **nodjim** » 05 Déc 2010, 19:34

On peut espérer faire nettement mieux avec cette forme:
10^a - rac10*10^b.
On choisit pour rac10 une approximation avec un nombre de décimales tel que la somme des chiffres est 2 modulo 3. Le 10^b sert juste ici à supprimer la virgule.
Par exemple, 3.16226 convient. Sa somme des chiffres est 2 modulo 3. On multiplie par 10^5 et ça donne 316226. Il faut bien sûr s'assurer que le produit 316226*316227 ne commence pas par 1.
Ici, ça vaut 99999199302.
Le n(n-1) donne:
(10^a-316226)*(10^a-316227)=10^2a-10^a*(316226+316227)+316226*316227.
On arrive à une somme de chiffres 2000 pour le nombre 10^217-316226.
Ce nombre s'écrit aussi 999....99367547 pour les a 1ers chiffres et 000.....0099999199302 pour les a derniers chiffres. Avec beaucoup plus de précision pour rac10, on peut espérer supprimer presque tous les zéros et ainsi réduire la longueur du nombre au minimum.

Par cette méthode, on doit pouvoir obtenir le résultat avec un nombre d'environ 150 chiffres.

par **Anonyme** » 09 Déc 2010, 18:53

Bonjour,

Je sais que ce nombre est congrus à 2 modulo 9 (tout simplement parce que 2000 est congrus à 2 modulo 9...). Mais, je ne comprends pas pourquoi c'est trivial à partir du moment où on sait que tout nombre est congrus à la somme de ses chiffres modulo 9...
Sachant que je n'ai vraiment aucun entraînement avec les exercices d'olympiades (hormis le fait que j'ai passé les académiques, mais bon c'est plus typé internationales), je me demandais comment faire pour trouver ce nombre... :)

par **benekire2** » 09 Déc 2010, 21:52

Salut !

Avec une petite disjonction de cas ça devrait se passer normalement :lol3:

par **Anonyme** » 09 Déc 2010, 23:44

Je crois que je n'ai plus qu'à me pendre. :D
Je ne vois pas du tout comment faire la disjonction des cas... Petit indice : il y a combien de cas ? :D

par **Ben314** » 09 Déc 2010, 23:54

Aaaie a écrit:Je crois que je n'ai plus qu'à me pendre.
Je ne vois pas du tout comment faire la disjonction des cas... Petit indice : il y a combien de cas ?

J'ai pas bien compris (en je pense que Benekire non plus...) :
a) Tu veut savoir comment faire pour trouver un n tel que la somme des chiffre de n(n+1) fasse 2000 ?
b) Ou bien tu veut savoir comment faire pour prouver que la somme des chiffres de n(2n-1) ne peut pas faire 2000 ?

Je pense que Benekire à répondu dans le cas b) et je me demande si ta question n'est pas relative au a)

par **Anonyme** » 09 Déc 2010, 23:57

Je voulais démontrer le cas b (après, pourquoi pas faire le a...).

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