Problème maths qui prend la tête (marrant...ou pas)

[MONIE66]

Saurez-vous résoudre ce problème ?
Un premier verre contient un volume v de limonade et un second verre le même volume de coca. On verse un volume v' du premier verre dans le second, puis le même volume v' du second dans le premier. On recommence l'opération de très nombreuses fois...Pourriez-vous dire quelle est la proportion de limonade dans chaque verre au final (en imaginant qu'il n'y a aucune perte pendant les mélanges).

[nodjim]

Le final, ou la limite, vaut 50/50. Je crois me souvenir que le mélange tend vers cette valeur selon une loi logarithmique.

[MONIE66]

Le final, ou la limite, vaut 50/50. Je crois me souvenir que le mélange tend vers cette valeur selon une loi logarithmique.

Salut Nodjim, merci pour ta réponse, aurais-tu les détails du calcul qui te mène à ce résultat ? Ou pourrais-tu me donner plus de précision en ce qui concerne la loi logarithmique ?
Merci beaucoup

[nodjim]

D'abord après un aller retour de versement les 2 récipients sont au même niveau qu'au début. On dira 1. Le prélèvement sera de x pour un volume de 1.
Après un certain nombre pair de transferts, si la proportion de limonade est a dans le 1er verre, elle est de 1-a dans le second (on a dit que le volume de limonade est 1).
Appliquons un aller retour de transfert.
1er transfert:
1er verre: a---> a(1-x) limonade.
2ème verre: 1-a--->1-a+ax lim. Le 2ème verre a un volume total de 1+x.
2ème transfert (du 2ème verre vers le 1er verre)
1er verre a(1-x)---->a(1-x)+ x/(1+x) (1-a+ax)

Après un double transfert, le 1er verre est passé de a à a(1-x)+ x/(1+x) (1-a+ax)
volume de limonade.
Simplifions l'expression:
a---->(a+x-ax)/(1+x)
A y regarder de près, c'est une suite arithmético-géométrique.

[nodjim]

Soit 2 verres de volume 1 au départ, avec un transfert de volume k. Regardons ce qu'il se passe au bout d'un nombre pair de transferts.
Le verre 1 contient un volume de x limonade dans un volume 1, le verre 2 (1-x) limonade dans un volume 1.
1er transfert (de verre 1---->2)
dans verre 1: x(1-k) limonade
dans verre 2: 1-x+kx limonade. Comme le verre 2 contient 1+k liquide, la proportion de limonade est (1-x+kx)/(1+k)

2ème transfert (de verre 2--->1)
verre 1: x(1-k)+k(1-x+kx)/(1+k)=
(x(1-k²)+k-kx+k²x)/(1+k)=(x+k-kx)/(1+k)

En 2 transferts, on est passé de x à----> x(1-k)/(1+k)+k(1+k) de la forme ax+b.
avec a=(1-k)/(1+k)<1. et b=k/(1+k)
C'est une suite arithmético-géométrique.
Répétée n fois:....a(a(ax+b)+b)+b)+b=a^nx+b(1+a+a²+..a^(n-1))
Si n --->infini, comme a<1: a^n---->0 et 1+a+a²+...=1/(1-a)
Au final ça donne b/(1-a).

Un petit calcul donne pour b/(1-a)= 1/2.

La proportion de limonade tend vers 1/2, et donc forcément aussi celle de coca.