Systèmes linéaires - Déterminant

[Nightmare]

[

Sinon, une question en rapport , y a-il toute une théorie sur les matrices, déterminants dans des anneaux ? Ou alors ce n'est "pas la peine" car il y a très peu de résultats qui changent ?

Les matrices à coefs dans un anneau ne forment généralement pas un espace vectoriel, cela dit elles ont une structure assez identiquement avec notamment l'importante existence d'une base. Effectivement beaucoup de résultats basiques sont conservés mais par contre on perd toute la théorie de la réduction (qui nécessite de pouvoir parler des racines du polynômes caractéristique).

De même souvent, les coprs de base sur le peu que j'ai vu d'algèbre linéaire sont R ou C , et certains résultats ( la plupart je pense) se généralisent a un coprs quelconque, alors est-ce que il existe aussi toute une théorie autour de l'algèbre linéaire sur "tout coprs" en fin je veut dire sur des coprs qui ne sont pas forcément R ou C ... ? je suppose que oui pour cette question ...

Oui, il est fréquent d'étudier les matrices dans un corps fini, par exemple Z/2Z (pour la théorie des graphes en particulier).

[Ben314]

Salut Béné.
Si ça t'interesse, si on cherche à "réécrire" la théorie en remplaçant le corps K (commutatif) par un anneau A (souvent on le suppose commutatif, unitaire et intègre), on commence évidement par réécrire les axiomes d'espace vectoriels et on obtient les axiomes "de A-module" (donc nouveau nom).
Le truc qui déconne quasi dés le début, c'est qu'un A-module peut trés bien ne pas admettre de base (par exemple Q est un Z-module tel que toute famille d'au moins deux éléments est liée et tel qu'il n'existe aucune famille génératrice finie...)
Bon, on peut évidement restreindre la théorie aux A-modules qui admettent des bases (on dit que ce sont des A-modules "libres") et dans ce cas définir les matrices associèés aux morphismes entre A-modules libres.
L'ensemble des matrices n'est (évidement) pas un espace vectoriel, mais un A-module (qui, lui, est forcément libre).
Tout le début de la théorie (def du déterminant, inversibilité,...) est alors identique à la théorie des espaces vectoriels sur un corps K.

Par rapport à ce que dit Nightamre concernant "la théorie de la réduction", on a déjà de trés grosses différences selon le corp de base que l'on choisi : le seul cas où tout marche (presque) "comme sur des roulettes" est celui où le corps de départ est "algébriquement clos", c'est à dire tel que tout polynôme non constant admet au moins une racine (par exemple sur C).
Par exemple, la "théorie de la réduction" avec comme corps de base Q, ben quand tu prend une matrice au pif, la plupart du temps, on peut rien réduire du tout vu que le polynôme caractéristique n'a aucune racines dans Q.

[busard_des_roseaux]

elle m'a dit de regarder la définition du déterminant - assez horrible je dois avouer

voilà l'idée:
on considère n vecteurs à n composantes chacun.

on forme un produit de n facteurs , le plus injectif possible,
en "piquant" une coordonnée à chaque vecteur...

ça donne une forme (application à valeurs dans le corps de base)
qui n'est pas linéaire, qui n'est pas bilinéaire

mais n-linéaire (linéaire sur chaque vecteur)

ensuite, on peut saturer ce produit de deux manières:
soit en construisant une forme symétrique (on compléte sur l'ensemble
des permutations des indices de coordonnées par symétrie)

soit de manière antisymétrique,.. on obtient un déterminant.
Cette somme a alors des propriétés subtiles, en particulier elle est alternée
et permet:
- de tester l'indépendance linéaire des vecteurs
- fait office de "forme "volume" en géomètrie
par ex, le déterminant de deux vecteurs est l'aire du parallèlogramme
construit sur ces deux vecteurs
- et de définir une orientation de l'espace

[benekire2]

Salut à vous tous !

Busard >> Oui la définition est très horrible mais du coup elle m'a permis de regarder ce qu'était les permutation et les formes n linéaires alternées qui m'ont permis de "comprendre" le fonctionnement. Bien sûr j'en suis qu'à la base de la base et même si ça peut parraitre inintéressant d'avoir un exo où l'on calcule un déterminant ou un autre guidé sur la diagonalisation d'une matrice , les possibilité, les outils futurs qui risquent d'être construits avec me fascine.

Ben,Nightmare >> Merci de vos réponses ! Je me posais ces questions parce que généralement au début du cours est inscrit " ici K désigne les corps R ou C" et je voulais savoir ce que ça donnait ailleurs, un peu comme avec les polynômes j'ai croisé quelques polynômes a coeff dans z/pZ donc un corps fini, mais la plupart du temps c'est a coeff dans R ou C, et dès qu'on passe dans un anneau ça se complique.

Sinon, pour en revennir sur le déterminant de Sylviel , quelqu'un peut me dire comment commencer svp ? C'est a dire que je vois plusieurs méthodes ( pivot et développement lignes/colonnes ( oublions sarrus ...) ) mais que la manière dont je m'y prend a l'air de complexifier le truc ... mais par contre j'ai pas pu trouver de relation de récurrence , ça élimine (normalement) une piste.

[Ben314]

Sinon, pour en revennir sur le déterminant de Sylviel , quelqu'un peut me dire comment commencer svp ? C'est a dire que je vois plusieurs méthodes ( pivot et développement lignes/colonnes ( oublions sarrus ...) ) mais que la manière dont je m'y prend a l'air de complexifier le truc ... mais par contre j'ai pas pu trouver de relation de récurrence , ça élimine (normalement) une piste.

Bon, déjà, sarrus, je te rapelle que ça marche UNIQUEMENT pour les 3x3.
Ensuite, c'est con parce que tu as éliminé ce qui me semble la solution la plus simple...

Donc Indic pour UNE des méthode possible :
1) Bricoler lignes/colonnes pour faire apparaitre plein de 0 sur une ligne/colonne
2) développer par rapport à cette ligne/colonne
3) Essayer de calculer les nouveau déterminants obtenus ou bien voir qu'il sont égaux à celui demandé (avec bien sûr une dimension de n-1 à la place de n)
....

[benekire2]

Ouais sarrus c'est la définition pour moi , mais en cherchant sur internet en effet c'est que pour le 3*3 , enfin bref , dans le cours que j'ai il est nulle part inscrit sarrus par contre dans les exos si ... donc je croyais que c'était la définition du déterminant.

Sinon, je vais retrourner bricoler cette matrice et faire apparître mes 0 ,

mais tu me conseille d'introduire le x ou pas ?

EDIT. Ca me tue d'avoir cru que Sarrus c'était la définition du déterminant :cry:

[Ben314]

Pour Sarrus, perso (et je suis loin d'être le seul), j'ai arrèté de l'enseigner : on a pas assez de temps pour faire plein d'exo avec des matrices 4x4 ou plus donc y'a tout plein d'étudiants qui, comme toi, pensaient que la "règle de sarrus" est valable en toute dimension. De plus, si tu développe un determinant 3x3 "bètement", au bout d'une demi ligne de calcul tu tombe sur la formule de Sarrus...

En ce qui concerne "l'introduction du x", à priori, je te conseillerais de commencer sans, c'est à dire en n'utilisant que les propriétées élémentaires des déterminant (invariance lorsque l'on ajoute à une ligne/colonne un multiple d'une autre + développement par rapport à une ligne/colonne) : c'est suffisant ici.

Une fois que tu aura le résultat, tu peut essayer de trouver d'autre méthodes plus subtiles : la plupart du temps ces méthodes consistent à "faire varier quelque chose" (que l'on a introduit ou qui est déjà dans la matrice).
Par exemple, ici, si on regarde a et b fixés, le déterminant est clairement un polynôme en c. Peut on trouver simplement son degré ? , ces racines ? son terme dominant ? (bon, ici, tel quel, ça conduit pas à grand chose...)

[benekire2]

Ok, pour moi sarrus ça s'appliquait évidemment a tout déterminant puisque c'était la définition dans ma tête :zen:

Sinon, pour le coup de la variable en simplifiant par les colones je trouve que le déterminant est un polynôme de degré 1 pour ce qui est du coeff dominant et constant ça donne rien comme ça mais c'est un peu normal je pense :we:

[Ben314]

Sinon, pour le coup de la variable en simplifiant par les colones je trouve que le déterminant est un polynôme de degré 1 pour ce qui est du coeff dominant et constant ça donne rien comme ça mais c'est un peu normal je pense :we:

Je sais pas comment tu as calculé le degrés, mais, en temps que polynôme en c, le truc est en fait de degrés n-1
(en plus, je suis pas sûr que ça aide à grand chose dans ce cas de voir le déterminant comme un polynôme en c : c'était pas une "indic", mais un exemple de méthode...)

Donc je le (re)dit : à mon avis, commence par apprendre à te servir des outils "basiques"...

[benekire2]

Ah j'ai cru que tu parlais de polynôme en x , en ces cas là ca fait bien du degré 1 ,

mais mon but est ici d'utiliser les outils les plus simples possibles ( que je ne maîtrisent pas encore) pour calculer ce déterminant, et la méthode que tu suggère me parrait pas mal, je te dirais ce que j'ai trouvé et/ou comment j'ai fait !

[benekire2]

Bon bah en fait j'y suis arrivé avec le polynôme en x , mais ta méthode (ben) m'intrigue, j'arrive a rendre une ligne presque vide , il reste plus que un élément tout en haut et un autre en bas. Je développe par rapport a cette ligne /colonne peut importe, et je tombe pas du tout sur un machin qui se prête à la récurrence ... Comment je dois faire ?

J'ai un déterminant , après opérations sur les lignes:
(a-c ,b-c,...,b-a)
(0,a-c,b-c,...,b-a)
(...)
(c,c,...,a)

Bref, je développe par rapport à la première colonne .

[benekire2]

Bon je conçois que ce que j'ai écrit est pas clair, la tête de mon déterminant est très moche ..

Comment je peut le rendre plus simple ? Ici les opérations sur les lignes et colones ne vont rien donner, mis a part le fait que je peut éliminer des c sur la dernière ligne. Je suis donc obligé de développer ensuite et c'est là que surviennent les problèmes. Aucune récurrence à l'horizon. :doh:

[Skullkid]

Si on appelle ton déterminant, en retranchant la deuxième colonne à la première on a avec qui est identique à sauf pour le terme en haut à gauche qui est b au lieu de a. Du coup en retranchant la deuxième colonne à la première dans on trouve que . Puis au final , et on peut calculer .

Sauf erreur de ma part, ça doit donner si , si et si a=b=c.

[benekire2]

Ah ba voui ça marche tout seul !

Merci beaucoup skullkid !

J'ai compris mon erreur ... J'ai pris une colonne et je l'ai retranché a toutes les autres ce qui a considérablement modifié la tête de la matrice ...

Sinon je vient de calculer le déterminant :
(a,c,c,b)
(c,a,b,c)
(c,b,a,c)
(b,c,c,a)

selon le même principe C2 <- C2-C3 et C1 <- C1-C4 .. magique.

Quelqu'un aurait un autre déterminant dans le genre de celui de sylviel a me donner ?

Merci !

[Ben314]

Un autre "classique parmi les classiques" est celui là :
b a 0 0 0 ... 0
c b a 0 0 ... 0
0 c b a 0 ... 0
0 0 c b a ... 0
. . . . . .
0 ... 0 0 c b a
0 ... 0 0 0 c b
Ou il y a deux méthodes ressemblant fortement à celle du déterminant précédent (en pour cause, c'est presque le même), mais il y a aussi une méthode originale consistant à chercher les éléments du noyeau de l'endomorphisme associé (i.e. les vecteurs colonnes X tels que A.X=0)...

[benekire2]

OK, merci beaucoup ben !

[Sylviel]

Dsl pour ne pas être revenu plus tôt :$
J'allais te demander comment tu as fait mais ce serait insulter ton travail ;-) Au passage c'est un exo sur lequel j'ai vu sécher plus d'un élève en colle...

Si tu continues comme cela et que tu cherches des exercices intéressant / des méthodes un peu fine je te conseille de te procurer les méthod'X (soit neuf, soit en revente par d'ancien élèves de prépa). Ce sont des bouquins (1 d'analyse, et 1 d'algèbre) de méthodes (et non de cours ou d'exos), il y a un rappel de cours, une présentation des diverses méthodes de résolutions existantes avec les outils du programme, et quelques exercices bien choisit. Vraiment utile en spé il y a quelques chapitres exploitable dès la sup (maintenant c'est décidé je te considère en sup :p) en particulier celui sur les déterminants et ceux sur les matrices...

Sinon tu peux reprendre celui que je t'ai donné avec a=b (as-tu pensé à ce cas là ?)

[benekire2]

(maintenant c'est décidé je te considère en sup :p)

Quand même pas ...

Pour ton exo en rajoutant le x comme me l'as sugéré ben ça fait un polynôme et en plus il est de degré 1 (chouette ! ) alors en évaluant en -a et en -b on a des déterminants de matrices triangulaires , donc très faciles a calculer. Avec ces deux valeurs on est en mesure d'expliciter le déterminant de la matrice et donc d'avoir celui qu'on veut (x=0)

PS. Pour les bouquins je vais peut être attendre mais c'est vrai que tout le monde me conseille les method'X, les gourdon et les Monier ...

[Ben314]

Pour ton exo en rajoutant le x comme me l'as sugéré ben ça fait un polynôme et en plus il est de degré 1 (chouette ! ) alors en évaluant en -a et en -b on a des déterminants de matrices triangulaires , donc très faciles a calculer. Avec ces deux valeurs on est en mesure d'expliciter le déterminant de la matrice et donc d'avoir celui qu'on veut (x=0)

Justement, ce que te dit Sylviel, c'est que, dans le cas où a=b, la méthode "telle quelle" ne marche plus vu que dans ce cas, tu ne connait qu'une seule valeur de la fonction affine.

Comment traiter le cas a=b (plusieurs réponses possibles...) ?

[benekire2]

Yep , je répondais simplement a sylviel en ce qui concerne la méthode que j'ai utilisé pour a différent de b , mais pour le cas a=b j'ai rien dit.

En l'occurrence je procéderait par récurrence , en faisant l'opération C1 <- C1-C2 ce qui donne tout de suite la relation de récurrence.