Algorithme de résolution des systèmes linéaires ..

[sandrine_guillerme]

Bonjour tout le monde,

(j'ai pas sommeil)
j'ai décidé d'ouvrir un livre d'algèbre linéaire, et me voilà devant un sujet très intéréssant comme le titre le montre, il s'agit d'une méthode (directe?) qui s'appele procédé d'élimination de Gauss !(tiens Gauss partout on le voit!)

bref tout ce que j'ai compris sur cette méthode c'est qu'elle est d'abord général et consiste pour une matrice inversible à déterminer une matrice M telle que MA soit triangulaire supérieur, on doit donc résoudre le problème linéaire suivant

MAX=MF de façon très rapide par la méthode de remontée.

donc, j'ai besoin de quelques lecteurs afin de m'eéclaircir des choses à propos parceque malheuresueement le bouquin que j'ai l'a zappe sur beaucoup trop de chose, et tout .. donc voici mes première question,
y a t il des gens qui aime découvrir de nouvelles méthode ? elle est briallante et élégante je vous assure, tenez d'abord au courant,

Cordialement.

[Joker62]

C'est le pivot de Gauss non ???
On effectue des opérations sur les lignes/colonnes pour faire apparaître des 0 dans le triangle inférieur.

Et donc on peut résoudre en remontant comme tu dis rien de bien compliqué si c'est de ça dont tu parles évidemment.

[sandrine_guillerme]

Salut !

je ne sais pas si c'est bien le pivot de Gauss, en tout cas je connais pas bien cette méthode, mais bon on verra si c'est bien ça! elle me permettra de mieux comprendre de quoi il s'agit !

pourquoi doit on avoir une matrice A inversible ?

en fait il dit que si B = MA a la forme suivante





en fait y a sur la diagonale et c'est une matrice triangulaire supérieur .


Il dit que la la solution s'obtient très facilement



.
.
.



Vous en pensez quoi ? pourquoi A doit être inversible et si vous aurrez un exemple moi je ne suis pas très familiarisée avec ce genre de choses...


Merci bien d'avance !

[serge75]

C'est le pivot de gauss, sandrine, mais écrit sous forme matricielle.

[sandrine_guillerme]

Bonjour serge
oki .. tu n'aurais pas un lien ou je pourrais trouver mon bonheure ?
sinon si ça ne te dérange pas peut on en discuter ici , parceque tout ça n'est que le début !

[allomomo]

Salut,

C'est le pivot de Gauss, en effet, c'est assez simple de résoudre des système avec cette méthode ... en écrivant la matrice associée à ce système + la matrice augmentée. Et par suite, on fabrique une matrice triangulaire supérieur ... et voila .

Exemple extrait d'ici : mot clès : algèbre.

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[sandrine_guillerme]

Salut

Oui, je vois, il me semble que ce sont les notations qu'ils l'ont rendu lègèrement compliqué a comprendre, mais je vais essayer de voir ceci de plus prêt ..

Merci bien ..

[fahr451]

bonsoir

à noter que le pivot permet également de résoudre un système qui n'est pas de cramer
> matrice échelonnée
> relations de compatibilité
> inconnues principales et secondaires

[sandrine_guillerme]

Merci allomomo pour l'exoemple !! je l'avais pas vu !

et fahr merci toi !

et au fait tu n'aurrais pas des exemples stp ?
pour

> matrice échelonnée
> relations de compatibilité
> inconnues principales et secondaires

j'ai lu aussi que le pivot sert à la factorisation d'une matrice ??

vous connaissez ?

Merci encore !

[sandrine_guillerme]

en attendant une réponse de fahr je poursuis donc ce qui est dis avant ..
l'auteur dit :

Revenons à la procèdure d'élimination. Nous allons calculer directement la matrice MA et le vecteur MF, par réccurence. pour celà on multiplie surccessivement la matrice A par certaines matrices pour obtenir une matrice triangulaire supérieure, au bout de n-1 étape. Nous notons A^1 = A. Puisque A est inversible, la première colonne de A contient au moins un élèment non nul à savoir .(je comprends maintenant pourquoi exige t'on l'inversibilité de A,

L'élèment non nul choisi est appelé le premier oivot de l'élimination et on échange la ligne i avec la première ligne, en multipliant par la matrice de transposition .
Notons si le pivot choisi esti. cette opération permet de se ramener à une nouvelle matrice dont le terme à l'intersection de la première ligne et de la première colonne est non nul.

Jusque là très bien !

Nous sommes aisi amenés à résoudre là je ne suis pas sure de ce que j'ai compris, mais set ce tout simplement parceque l'on veut faire des permutations ?.

Notons les termes de la matrice
Nous allons maintenant multiplier la matrice par la matrice (c'est une matrice élémentaire ?) mais pourquoi veut on le faire ?)

Voici xomment définit il la matrice




Qui est choisie de sorte que la matrice soit de la forme suivante

ATTENTION: A^2 c'est ne pas le carré de A, mais le seco,d élèment d'une suite





Voici ma question synthèse, pourquoi tout se mécanisme, pourquoi se casse t on les pied alors que c'est censé être une méthode directe ? je vous prie ausi de ne pas oublier les question en rouge ...


et merci bien :lol4:

[sandrine_guillerme]

je tente de remonter ce fil, voire s'il y a quelqu'un qui est intéréssé ?

[fahr451]

bonjour
je ne suis pas certain de comprendre ta question

ce que tu cites c'est la justification de la méthode :
l e fait que toute opération revient à multiplier par une matrice inversible il précise laquelle à chaque fois

[sandrine_guillerme]

Je vois,

ce choix n'est pas arbitraire bien sûr parcequ'il dis " de façon à avoir .."
ces matrices portent t il un nom spécial ... ? matrice élémentaire non ?

et puis y avait une question avant stp .. cf . post hier à 23h25 .

[fahr451]

matrice d'opération élémentaire st souvent le nom utilisé

"factorisation" oui le pivot permet d'avoir la factorisation LU par exemple

lower x upper

[sandrine_guillerme]

Oki très bien .. !


Merci fahr ,

je revienderais si besoin :)

[sandrine_guillerme]

Et c'est quoi donc ce lower x upper stp ? pourquoi faire?

[fahr451]

A inversible

A = LU , L matrice triangulaire inférieure U triangulaire sup

tape sur google (pas trop fort ça fait mal) les applications sont multiples

une seule :

à résoudre A X = y avec de nombreux Y différents

au lieu de faire à chaque fois le pivot sur la matrice complète (avec le second membre) on résoud LU X =Y ainsi

d'abord LZ = Y puis UX = Z qui sont deux systèmes en cascade très rapides àrésoudre

[sandrine_guillerme]

ok fahr,

Je vais regarder ce soir, comme d'hab ..

Merci bien .

[Flodelarab]

Oui oui. On reconnait bien le pivot de Gauss.
A noter que parler du gosse de Pivot aurait suscité moins de réponses, aussi fort en dictée soit-il. :zen:

Voici ma question synthèse, pourquoi tout se mécanisme, pourquoi se casse t on les pied alors que c'est censé être une méthode directe ?

Tu vois une méthode plus directe pour résoudre n équations à n inconnues ? (savoir s'il y a des solutions et les trouver)

[sandrine_guillerme]

Tu vois une méthode plus directe pour résoudre n équations à n inconnues ? (savoir s'il y a des solutions et les trouver)

En fait je ne pensais pas du tout au méthodes directes mais aux méthodes itératives, mais là je suis d'accord que ça va vraiment rapide,

seulement que j'ai tout de même quelques question ..

l'auteur dit :

(...)
Notons que la liberté de pivoter des lignes et des colonnes peut s'avèrer préciseuse même si, en appliquant la méthode de Gauss sans élimination, aucun élèment n'est nul. il peut en effet arriver que l'un de ces élèments soit très petit et des erreurs d'arrondis risquent alors de dégrader la solution . deux stratègies sont courament utilisées.
pivot partiel
pivot total

ce que j'ai cru comprendre c'est que dans le pivot partiel on prend le max des élèments en colonne,
et le pivot total on prend le max de ce qu'il y a en ligne et en colonnes

et bien entendu les élèments pris on les considère comme des pivots qui annuleront les élèments ..

Alors si j'ai bon, aurriez vous des exemples concrèts d'élèments qui peuvent perturber la solution ?
je pensais qu'avec la méthode directe et A inversible on a une solution unique contrairement aux méthodes itératives qui donnes des valeurs approchés convergeant vers la solution ...

Merci pour votre aide ...