Petite(s) question(s) de cours sur les suites

[Olympus]

Ah vraiment ? Si l'inégalité que je trouve à la fin est juste, aussi farfelue soit-elle, et que mon raisonnement se fait par implications alors la première inégalité est vraie ?
C'est tout à fait logique à y bien réfléchir, puisque l'étape n implique l'étape n+1 en étant elle-même impliquée par l'étape n-1 !
Super raisonnement, je n'avais jamais pensé à ça !

=D

Non, si tu vas par implications et que tu tombes sur une proposition vraie, cela ne veut pas forcément dire que la proposition de départ l'est aussi, car selon la définition d'une implication ( cf. son tableau de vérité ), si est vraie, et que l'est aussi, alors est soit vraie, soit fausse . Donc un tel raisonnement uniquement par implication n'avance à rien, car le faux pourrait bien aussi impliquer du vrai !

Par contre, si tu vas par équivalences ( ce qui est le cas ici vu que tout est positif ), alors par équivalences successives, t'auras où P est ta proposition de départ, et Q le truc que t'as trouvé à la fin ( dans ton cas, c'est 1>0 ) . Donc ta proposition de départ a la même valeur de vérité que 1>0 . Or cette dernière est vraie, donc la proposition de départ le sera aussi .

[Rebelle_]

Tu m'as devancée, j'allais poser la question !

Merci à tous pour ces précisions très utiles ! :)

[Rebelle_]

Bonjour ! =)

J'espère que je fais bien de poursuivre sur ce fil, puisque j'ai à nouveau une question qui concerne le cours sur les suites. :)

J'ai une suite (u_n) de N dans R définie telle que :

{u_0
{u_{n+1} = f(u_n)

où u_0 est un réel fixé.

Ma question était de savoir si je peux étudier les variations de la fonction f sur R+ pour étudier celles de la suite (u_n) sur N ?
Il paraît que ça ne marche pas à tous les coups (en particulier pour les suites contractantes, d'après la prof... Mais je ne vois pas trop ce que c'est).
Pourriez-vous m'expliquer tout ça ?

Merci encore une fois à tout le monde ! =)

[Arnaud-29-31]

Salut Rebelle,

Une fonction contractante est une fonction k-lipschitzienne avec k < 1.

Une fonction k-lipschitzienne est une fonction f définie sur un intervalle I telle que

Ceci implique bien sur la continuité mais c'est encore plus fort que ça : la fonction est limité dans sa manière de croître ou de décroître.

Une fonction contractante n'a donc jamais un coefficient directeur supérieur à 1 ou inférieur à -1.

Maintenant trace la droite y = x puis la courbe d'une fonction f qui croît plus vite que y = x (donc non-contractante) regarde ce qui se passe pour ta suite. en prenant d'abord un inférieur à l'abscisse du point fixe puis ensuite un supérieur à l'abscisse du point fixe.

Même chose avec une fonction qui croît moins vite que y = x (donc contractante)

Ceci devrait répondre à ta question

[Rebelle_]

Ah oui, je me rappelle avoir vu ça en première !

Le point dit "fixe" c'est le point d'intersection entre le graphe de f et la droite d'équation y = x. Si je veux le trouver je calcule f(x) = x et je regarde ce que je trouve. S'il y a une solution c'est l'abscisse du point fixe !

Si je comprends bien, le point fixe c'est le "moment" à partir duquel le comportement de la fonction définie par u_{n+1} = f(u_n) et celui de la suite (u_n) ne sont plus les mêmes ! Et la suite (u_n) converge vers le point fixe (c'est là que l'on retrouve le fameux truc "en escargot") !

Si tout ce qui est ci-dessus est exact alors j'ai bien compris le truc ! :D

Merci beaucoup :)