Nombres complexes et géométrie

[ze zoune]

Bonjour à tous !

Aujourd'hui j'ai un problème avec un exercice sur les complexes. voici l'énoncé:

On considère un nombre complexe , .

1) Déterminer par des considérations géométriques le module et l'argument de 1+z et de 1-z en fonction de . Retrouver les résultats précédents par le calcul.

Voici les hypothèses que j'ai faites:

On déduit déjà de l'énoncé que , donc le point d'affixe z est situé sur le cercle trigo.
Ensuite ce n'est que du visuel, j'ai pu constater que et que .
Mais ensuite comment le prouver géométriquement ?

Merci !

[le_fabien]

Bonjour , tu peux voir sur ce schéma quelques triangles isocèles et j'ai placé le point Z d'affixe 1+z.
[img][IMG]http://img836.imageshack.us/img836/5607/javaprinting.jpg[/img] Uploaded with ImageShack.us[/IMG]

[Ericovitchi]

z décrit le cercle trigo donc 1+z décrit un cercle translaté de 1
La figure est un losange, les diagonales sont des bissectrices, on démontre facilement que l'angle est l'angle moitié (ou bien en disant que l'angle au centre qui intercepte le même arc est double).



EDIT: grillé le temps de faire la figure :we:

[le_fabien]

Elle est beaucoup plus jolie la tienne !! :zen:

[Anonyme]

Oui elle a ete faite avec quel logiciel ? :zen:

[Ericovitchi]

Powerpoint

[ze zoune]

Merci de m'avoir répondu si vite !

En considérant la figure de Ericovitchi, voici mon raisonnement:

Soit M le point d'affixe z et M' le point d'affixe z+1. Soit O' le centre du cercle C' de rayon 1 tq OO'=1, et y le projeté orthogonal de M et M' sur l'axe des ordonnées.
D'après la figure, OO'M'M est un losange et admet [OM'] comme diagonale. Or, une diagonale d'un losange est aussi l'une de ses bissectrices. D'où .

et

D'où

OM=1

D'où

Mon raisonnement est il juste ? La recherche du module peut elle rentrer dans une considération géométrique ?

[Ericovitchi]

ou bien en appelant A le point opposé à O et en regardant le triangle rectangle OM'A : cos a/2 = OM'/2 d'où OM' = 2 cos a/2

(que tu avais déjà trouvé puisque sina = 2 sin(a/2) cos(a/2) et que tu avais trouvé sin a / sin (a/2) )

[freshh]

bonjour a tous ,
j'ai un gros probleme je n arrive pas a trouver la dérivée de f par rapport a x pour cette fonction : f(x;y)=xcarré e en puissance y sur x (e est exponentielle et a en puissance y sur x) aidez moi vite pleaseee

[Ericovitchi]

a en puissance y sur x ? e tu veux dire ?

donc ta fonction en clair c'est :

Ca se dérive comme un produit de fonctions [fg]'=f'g+g'f
et pour l'exponentielle c'est un donc qui se dérive en

[ze zoune]

Ok donc ensuite ce doit être sensiblement la même chose pour 1-z. Et pour retrouver ces résultats par le calcul, il suffit d'utiliser la définition d'un module et d'un argument ?