[Arithmétique] Equation diophantienne

[benekire2]

Z[sqrt(-2)]
Comme y^3 est un cube,
et que (x-sqrt(-2)) n'est pas un multiple d'un entier,
ça force à ce que (x-sqrt(-2)) soit le cube d'un nombre de Z[sqrt(-2)]
(par exemple ça peut pas avoir (1+sqrt(-2))*(1-sqrt(-2))*(1-sqrt(-2)) parceque ça ferait 3*(1-sqrt(-2)), et (x-sqrt(-2)) n'est pas un multiple de 3)
A partir de là, les seuls cubes possibles sont
(1+sqrt(-2))^3 = (-5+sqrt(-2)),
(-1+sqrt(-2))^3 = (5+sqrt(-2))
ce qui donne les deux solutions dans Z, x = +-5 et y=3

Alors voilà, c'est ici que je n'arrive plus a te suivre !

Je ne vois pas pourquoi a priori forcément (x-sqrt(-2)) est le cube d'un entier, je ne comprends pas ... après la suite c'est bon.

[Nightmare]

Salut,

je ne comprends pas trop ce qu'a voulu dire Doraki. Pour moi, il faudrait prouver que x-iV(2) et x+iV(2) sont premiers entre eux

[benekire2]

Comme ce sont deux complexes de même module donc leur décomposition en produit de facteurs premiers se compose de complexes non réels, et si on dit que alors
avec p' le conjugué de p.

Cela devrait suffire ?

[Nightmare]

Suffire à ?

[benekire2]

pour montrer que x+iV2 et x-iV2 sont premiers entre eux. J'ai montré ( enfin je pense) que ces deux nombres n'avaient aucun facteurs premiers en communs.

[Nightmare]

Comment as-tu procédé?

[benekire2]

Ben, je me rend compte que c'est faux ce que j'ai fais , du moins, rien empèche que x+iV2 se décompose avec certains réels ...

Ceci dit, je pense que les réels ne sont pas premiers. Faut-il encore le prouver. :zen:

[Doraki]

Je note z* le conjugué de z.
Les nombres premiers de Z[sqrt(-2)] sont :
soit des nombres premiers de Z, qui n'ont pas changé
soit un premier complexe q avec q q* = un nombre premier p de Z qui se décompose (ceux où sqrt(-2) existe dans Z/pZ)

Si on écrit la décomposition de (x+sqrt(-2)), on a :

(x+sqrt(-2)) = p1^a1 ... pn^an q1^b1 ... qn^bn,

où les pi sont des nombres premiers réels, et où les qi sont des nombres premiers complexes,
on ne peut pas avoir qj = qi* (conjugué de qi), parcequ'alors (x+sqrt(-2)) serait multiple de (qi qi*), qui est un nombre premier de Z, plus grand que 1, et donc x et 1 aussi. En particulier, 1 serait multiple de (qiqi*) dans Z.

(x-sqrt(-2)) = p1^a1 ... pn^an q1*^b1 ... qn*^bn

Donc leur produit y^3 = p1^(2a1) ... pn^(2an) (q1q1*)^b1 ... (qnqn*)^bn
et ça c'est une décomposition en facteurs premiers dans Z.

Donc tous les 2ai et les bi sont multiples de 3, et donc (x+sqrt(-2)) est bien un cube.

[benekire2]

Ok ok, merci bien doraki

Une question quand même, comment fait on pour savoir que ce sont les seuls nombres premiers ? ( au début quand tu as donné leur forme) , ça m'intrigue ,

Merci !

[dibeteriou]

Soit un nombre premier de .

- Si est réel, il est premier dans (c'est immédiat en écrivant la propriété "est premier" avec un quantificateur ).

- Si est non réel, est premier aussi (par symétrie : la conjugaison est un automorphisme de ). Alors est réel, et par unicité de la décomposition en facteurs premiers dans , est premier dans .

De plus, en écrivant on a avec () ce qui s'écrit dans : . Comme b est inversible dans (qui est un corps, car q est premier) on obtient .


edit:
Réciproquement, si comme et que est premier, .
Ce qui montre en plus que les nombres premiers non réels sont de la forme ou .

[Doraki]

Nan pour ton edit, c'est pas forcément vrai. Par exemple 19 = 1² + 2*3².

[dibeteriou]

C'est contradictoire avec quoi ?

[Doraki]

Réciproquement, si comme et que est premier, .
Ce qui montre en plus que les nombres premiers non réels sont de la forme ou .

La décomposition de 19 en nombres premiers est 19 = (1 + 3*sqrt(-2))*(1 - 3*sqrt(-2))

[dibeteriou]

Exact, j'ai écrit la relation de divisibilité à l'envers :-(

[benekire2]

Re,

J'ai tout relu calmement et plusieurs chosent m'interpellent,

1. Quelle définition de la division prend on ici ?
2. Quand dibeteriou tu dit:
"- Si p est réel, il est premier dans (c'est immédiat en écrivant la propriété "est premier" avec un quantificateur )." de quelle définition parle-tu ?

Et puis si quelqu'un a une référence sur le net d'un bon cours sur les anneaux factoriels et Euclidiens ça m'intéresse parce que ceux que je trouve ne sont pas géniaux ...

Merci encore :lol3:

PS. Si quelqu'un à la preuve que Z[iV2] est euclidien et factoriel , je la veut bien ( j'arrive pas non plus a mettre la main dessus sur le net :hum: )

[Doraki]

Ben y'a la division dans Z :
Pour a et b dans Z, a divise b si il existe k dans Z tel que b = a*k.

Et la division dans Z[sqrt(-2)], ou tu écris la même chose en remplaçant tous les Z par des Z[sqrt(-2)].


Soit p est un nombre premier de Z[sqrt(-2)] et supposons qu'il est dans Z (il est de la forme p + 0 * sqrt(-2)),
Comme il est premier, il ne peut pas s'écrire x*y avec x et y dans Z[sqrt(-2)] non inversibles.
Donc il ne peut pas s'écrire (a + b*sqrt(-2)) * (c + d*sqrt(-2)), avec a,b,c,d dans Z, de manière non triviale.

En particulier, quand b = d = 0, p ne peut pas valoir a*c, avec a et c dans Z différents de 1 et -1.
Donc p est un nombre premier de Z.

[dibeteriou]

Ce que je voulais dire, c'est que si on écrit une définition du type :
" est premier dans ssi ou ".

alors la propriété "être premier" d'un anneau se transmet automatiquement aux restrictions (un peu comme la liberté d'une famille prise dans un corps ou dans un autre, par exemple).

[benekire2]

D'accord, voilà qui m'éclaircit quand même bien :id:

Sinon, quelqu'un aurait une preuve du fait que est un anneau est factoriel et euclidien ?

Moi je sais simplement montrer que c'est un anneau :briques:

[Nightmare]

Salut,

On peut montrer par exemple qu'il est Euclidien.

[Doraki]

J'ai esquissé la preuve qu'il y a une division euclidienne dans mon premier gros post, tu l'as lue ?