Equation Diophantienne

[lapras]

Chaque chose dans son temps :)
Déja pour celle de yos, je trouve que y est un multiple de 3, et que y est un multiple de 2, donc y muultiple de 6
en effet,
si x=0 [3], alors y² = 0 [3] <=> y = 0 [3]
si x = 1 [3], alors x+8 = 0 [3] => y² = 0 [3] <=> y = 0 [3]
si x = 2 [3], alors x+1 = 0[3] => y² = 0 [3] <=> y = 0 [3]

si x est pair, alors y² pair => y pair
si x est impair, x+1 pair (ainsi que x+7) donc y² pair donc y pair

Voila j'essaye d'avancer

[ThSQ]

Pour "x²+y²+2=xyz", j'ai pas "vraiment" le temps (DM de à rendre pour demain, la soirée va être longue ...) mais voici ma modeste contribution :

Déjà on peut se ramener à x,y,z > 0
Ensuite on remarque que si (x,y,4) est solution alors (y, 4y-x, 4) est aussi solution. Ca donne une infinité de solution à partir de (1,1,4).
Réciproquement par descente infinie ça donne toutes les solutions avec z=4.

Il est facile de voir que x et y doivent être impairs et que donc z est un multiple de 4. Ensuite en regardant mod 8, z n'est pas divisible par 8 : z = 4*(2Z+1).
Ca serait bien de montrer que Z=0 ...

[lapras]

Nightmare, t'as réussi à trouver en 5 minutes la solution de l'équation de yos ?
y'a donc UNE astuce à trouver ?
Je cherche mais la je ne trouve pas...
On verra bien demain !

[yos]

Je crois que tu les as toutes Nightmare.

[lapras]

Je crois avoir trouvé l'astuce
sur le fait que x et x+1 premiers entre eux et que x+7 et x+8 premiers entre eux et que x(x+1) ne donne jamais un carré et que (x+7)(x+8) ne donne jamais un carré

soit A = x(x+1) et B = (x+7)(x+8)
alors
AB = y²
comme A et B non des carrés parfaits, alors il faut que A = dx² et B = dy² teml que d = PGCD(A,B)
apres je démontre que d = 1 ou d=7




je réfléchis encore demain en controle de géographie, mais la je dois aller dormir :ptdr:
Bonne nuit

[Nightmare]

Je dirais que c'est un peu toujours la même chose les équations diophantiennes, enfin les formes simples en tout cas :happy3:

[lapras]

penses tu que mon "astuce" juste avant ton message est bonne ?

[Nightmare]

Tant qu'on obtient pas de résultat au bout, une astuce n'est pas bonne :lol2:

[lapras]

oui, je sais, mais je voulais savoir si je partais dans la bonne voie :we:

[lapras]

J'ai pas trop eu le temps cette semaine de réfléchir à ton équation, mais ca avance pas trop même quand j'y repense.
j'ai essayé de me placer dans Z/8Z
dans Z/8Z,
x(x+1)(x+7)(x+8) = x²(x+1)(x-1)
apres on sait que les carrés sont égaux à 0,1,4
malheureusement, je ne trouve aucune contrainte puisque x²(x+1)(x-1) est toujours égal à 0,1 ou 4...
Peux tu m'aider ?

[Nightmare]

Un petit indice : Pose t=x+4.

[lapras]

Ok merci :)

t = x+4
x = t-4
x(x+1)(x+7)(x+8) = (t-4)(t-3)(t+3)(t+4) = (t²-16)(t²-9)
(t²-16)(t²-9) = y²
or
PGCD(t²-16 ; t²-9) = PGCD(t²-16-(t²-9) ; t²-9) = PGCD(-7 ; t²-9)
plusieurs cas :
1) t ² - 9 = 7 <=> t = +/- 4
2) si t²-9 différent de 7, cad si t différent de+/- 4 , alors PGCD(t²-16 ; t²-9) = 1 donc il faut que t²-16 soit un carré et que t²-9 soit un carré
donc que
t² = k² + 16
et
t² = k'² + 9
k² + 16 = k'²+9 <=>
(k'-k)(k'+k) = 7
donc
k' = +/- 4 et k = +/-3
donc t = +/- 5


en conclusion,
x = 5-4 = 1 et y =+/- 12
ou
x = -5 -4 = -9 et y = +/- 12
ou
x = -4 - 4 = -8 et y = 0
ou x = 4-4 = 0 et y = 0

Jaurais du trouver l'astuce tout seul, je sais pas pourquoi elle m'a pas sauté aux yeux !

[ThSQ]

.

pour

Seules soluces 0 et 1.


Stoche