[Arithmétique] Equation diophantienne

[benekire2]

Bonsoir,

La dernière fois que j'ai proposé une équation diophantienne on est partit sur l'étude de alors je vais essayer de me rattraper :

Résoudre dans l'équation

Bon travail :happy3:

[Rebelle_]

Coucou

Je ne suis pas du tout une experte (en plus je n'aime pas trop ça ) mais faut-il faire un tableau ?
J'ai déjà fait un exercice similaire, ça donnait qu'il fallait écrire ça comme . On devait remplir un tableau avec x² congru à ... modulo quelque chose, y^3 congru à ... modulo quelque chose. Par contre ici je ne vois pas quoi mettre comme module, dans notre exercice il était donné ^^'

Est-ce quelque chose dans le style ou suis-je encore totalement à côté de la plaque ?!

[benekire2]

Salut Ju !

En effet comme on utilise pas d'outils trop bourrin ici il reste pas grand chose : Réduire avec les pgcd , les nombres premiers et puis bien sûr les congruences, et c'est plutôt dans cette direction qu'il faut chercher, alors essaye de voir avec les congruences et a toi de trouver "le bon modulo" , c'est pas un exercice facile, mais pour ceux qui s'entraînent en arithmétique "pour les olympiades" je pense que c'est assez classique ( mais moi je suis loin d'être un expert :lol3: )

Bonne chance

[Nightmare]

Hello,

je trouve qu'il n'y a pas de solutions ! Astuce : 7=8-1

[benekire2]

Hello,

je trouve qu'il n'y a pas de solutions ! Astuce : 7=8-1

Rhoo ne dévoile pas le résultat tout de suite :zen: Enfin même en sachant ça c'est pas tout a fait immédiat :lol3:

Bonjour au passage :we:

Astuce: Comme le suggère Nightmare on va regarder l'équation modulo 8 ...

[Rebelle_]

Bon alors j'ai posé un tableau dans le style :

y = . . . (8) || 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |

= ... (8) || 0 | 1 | 0 | 3 | 0 | 5 | 0 | 7 |

Après euuh.. Je ne suis pas très inventive en arithmétique. Il me semble qu'il faille s'intéressent à y = 7 (8) mais après :/

[benekire2]

Et bien en suite tu fais pareil pour x² mod8 et tu devrais t'appercevoir que y doit forcément être impair, c'est déjà pas mal. En suite on pourra réécrire l'équation sous une forme qui nous arrange et utiliser un célèbre résultat ( mais tu peut le démontrer ... ) :

p=1 mod 4 <=> il existe y vérifiant y²=-1[p]

(enfin si j'ai pas merdé, et si nightmare a plus rapide , tant mieux :zen: )

[Rebelle_]

Ah eh bien je ne connaissais pas ce résultait ^^' Je ne suis pas très avancée dans cette discipline :)

[benekire2]

Ne t'en fais pas travaille avec ce résultat ( pour la fin) sans t'occuper de la preuve , on s'en chargera plus tard.

Donc le tableau des carrés mod 8 est :

0²=0 1²=1 2²=4 3²=1 4²=0 5²=1 6²=4 7²=1

et les cubes :

0^3=0 1^3=1 2^3=0 3^3=3 4^3=0 5^3=5 6^3=0 et 7^3=-1

Donc en séparant tout les cas possibles ( 4 en fait) tu montre que y ne peut pas être pair !!

Ensuite tu peut remarque que l'équation se réécrit mod 8 : x²+1=y^3 et que toujours mod 8 : y^3+8 vaut y^3 et que tu peut factoriser par y+2 et ensuite la cuisine commence.

[Nightmare]

En fait, on peut raisonner mod 4 plus simplement non?

[benekire2]

Re Jord,

En fait c'est vrai qu'en regardant mod 4 "ça passe tout seul aussi" , après j'ai pas vu la fin, mais comme tu t'en doute je cherche un nombre premier p tel que x²+1=0 mod p et p=3mod4 pour montrer que y a pas de solution ...

Mais je pense que ça passe en effet.