Equation diophantienne

par **lapras** » 28 Oct 2008, 11:42

Bonjour
Résoudre en entiers naturels :

Bon courage,
Lapras :we:

par **miikou** » 28 Oct 2008, 15:13

c'est du type x²-2y'²=1 cas deja traité un bon nombre de fois ;)

par **lapras** » 28 Oct 2008, 15:45

Et non !
Ok tu peux résoudre le cas avec seulement des carrés.
Mais va montrer que la suite des solutions de l'équation de pell-fermat ne contient pas/contient des carrés (pour y)...
c'est pas évident !

par **guigui51250** » 28 Oct 2008, 17:29

bah en tout cas moi je sèche :--:

par **lapras** » 28 Oct 2008, 18:50

Quand vous voudrez je posterai ma solution, si elle est juste ! :)

par **guigui51250** » 28 Oct 2008, 19:12

attend encore une journée quand même pour laisser les gens chercher

par **leon1789** » 28 Oct 2008, 19:24

Soit

.

Imaginons un entier x>0 tel que
(x-e)/16 et (x+e)/2 soient tous les deux des entiers et même des puissances quatrièmes d'entiers.

Ca permet de dire des choses sur x ?

par **miikou** » 28 Oct 2008, 19:47

@ leon :

soit xo,yo une solution de x²-2y²=1 (E)
xn,yn solution de E <=> yn+xn = (y0+x0)^n & Yn-xn=(y0-x0)^n

donc Yn = [(y0+racinde(2)x0)^n + (y0-racine(2)x0)^n]/2
or x0=3,Y0=2 fonctionne

Yn= [(3+2racine(2))^n +(3-2racine(2))^n]/2

par **lapras** » 28 Oct 2008, 19:52

Leon > je suis parti la dessus pour ma démonstration et j'ai réussi a montrer qu'il n'y avait pas de solutions (sauf (1,0));)
Donc je te conseille de continuer la dessus (un moment y'aura une petite astuce à trouver !)
mikou > La suite y_n des solutions y est donnée par :

Bon courage pour montrer qu'il n'y a pas de carrés dedans

par **miikou** » 28 Oct 2008, 20:13

je reprends
or le chiffre des unité de (5^n+1)/2 est tjs 3 ( on etudies modulo10)

or k² nest jms congrus a 3 mod 10 CQFD pas de solution

par **nodgim** » 28 Oct 2008, 20:25

(x-1)(x+1)=2y^4
donc il faut x=2x+1
2x(2x+2)=2y^4
4x²+4x=2y^4
donc il faut y=2y
4x²+4x=32y^4
x²+x=x(x+1)=8y^4

donc il faut soit x=8x:
64x²+8x=8y^4
8x²+x=y^4
x(8x+1)=y^4
Or x et 8x+1 sont premiers entre eux, donc pas de solution.

Soit x=8x-1:
(8x-1)(8x)=8y^4
64x²-8x=8y^4
8x²-x=x(8x-1)=y^4
Or x et 8x-1 sont premiers entre eux, donc pas de solution.

Donc, si je n'ai pas fait d'erreur, il n'y a pas de solutions..

par **guigui51250** » 28 Oct 2008, 20:49

nodgim a écrit:donc il faut x=2x+1

euh pourquoi? (désolé je rame trop là ^^)

par **lapras** » 28 Oct 2008, 20:49

Tu t'embrouilles dans tes variables
Mais meme si

et que

on doit juste avoir

(

)
C'est beaucoup plus compliqué.

par **leon1789** » 28 Oct 2008, 20:50

leon1789 a écrit:Soit .
Imaginons un entier x>0 tel que (x-e)/16 et (x+e)/2 soient tous les deux des entiers et même des puissances quatrièmes d'entiers.

Posons

et

, pour arriver à

et

Modulo 4, on obtient

où a est un multiple de 5 et b impair...

par **leon1789** » 28 Oct 2008, 20:51

nodgim a écrit:Donc, si je n'ai pas fait d'erreur, il n'y a pas de solutions..

personnellement, je vois 2 petites solutions :id:

par **lapras** » 28 Oct 2008, 20:51

Léon > Oui , mais c'est loin d'être fini ! (d'ailleurs pourquoi a multiple de 5?)
Effectivement, il y a deux petites solutions triviales :happy2:

par **leon1789** » 28 Oct 2008, 21:58

lapras a écrit:pourquoi a multiple de 5?

et

: cela impose que 5 divise a.

par **lapras** » 28 Oct 2008, 22:02

Je ne suis pas sur que ca soit vraiment utile mais on ne sait jamais !
En tout cas voici ma solution, libre a ceux qui veulent chercher de ne pas la regarder.
S'il vous plait dites moi où y a -t-il des erreurs (si il y en a!)
On doit résoudre :

modulo 4, on a : y pair donc

Cas 1)

alors

donc

le discriminant est

est un carré parfait. Ainsi :

donc
a) si

et

donc

on a

on vérifie que l'équation se réécrit alors (factorisation de polynome) :

On a alors

donc

et

sont des puissances de 4, ce qui est impossible si

si

, on vérifie qu'on obtient

solution

b)

si

et

donc

ce qui est bien sur impossible modulo 4.

Cas 2)

alors

comme

on a :

donc

le discriminant est

doit etre un carré parfait, on se retrouve dans le cas 1

donc l'équation n'a pas de solutions sauf (1,0)[/

par **leon1789** » 28 Oct 2008, 22:50

leon1789 a écrit:Posons et , pour arriver à et

Modulo 4, on obtient où a est un multiple de 5 et b impair...

lapras a écrit:[[a multiple de 5]] Je ne suis pas sur que ca soit vraiment utile mais on ne sait jamais !

En fait, je ne m'en sers pas, c'est vrai. Mais voici la fin de ma solution.

b est impair : écrivons b=2c+1.
Il vient alors

Or c, c+1, 2c^2+2c+1 sont premiers entre eux 2 à 2 (via du Bézout)
=> c=0 ou c=-1
=> a=0
=>

=>

(lorsque x>0)
Seules solutions :

et

par **leon1789** » 28 Oct 2008, 22:52

lapras a écrit:(...) on vérifie que l'équation se réécrit alors (factorisation de polynome) :

On a alors (...)

Tiens, on arrive au même argument...

Equation diophantienne

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