Topologie Algébrique: Théorème de Van Kampen

[AlexisD]

Bonjour,

J'ai résolu un exercice tiré du théorème de Van Kampen qui permet de déterminer le groupe fondamental d'une union de deux espaces, à partir de leurs groupes présentés.
Il s'agissait de déterminer le groupe fondamental du tore à deux trous.
J'ai pris comme composantes les deux tores simples à un trou. Cependant, j'aimerais savoir si le raisonnement est juste.

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Désolé si j'écris un peu mal...

Par ailleurs, j'ai lu dans un cours que le groupe fondamental des surfaces de genre g étaient isomorphes à.
Or ceci n'est pas le cas dans l'exercice que j'ai résolu, où est le problème ?

Merci à vous

[Ben314]

Salut,
Il me semble qu'il y a un léger "bug" dés le début : les espaces J et K ne sont pas des tores, mais des tores avec un trou et le pi_1 d'un tore avec un trou, ce n'est pas la même chose que le pi_1 du tore :
Si tu comprend bien le dessin du "carré dont on recolle les bords" pour faire le tore, tu devrais visualiser qu'un tore avec un trou a le même tupe d'homotopie qu'un bouquet de dux cercles, c'est à dire que le pi_1 et le produit libre Z*Z.

Sinon, la méthode est O.K. et le resultat est la première écriture que tu donne mais sans les commutateur de a,b et de c,d.

[AlexisD]

Exact. Tu as raison, j'ai mal choisis mes espaces J et K. Finalement je trouve un truc assez différent et une relation du type:
aba^-1b^-1=cdc^-1d^-1.

Merci