Comment étudier les nombres premiers du point de vue de l'al

[mathelot]

Bonjour,

je ne suis pas un matheux professionnel et donc je pose la question par simple curiosité.

Pour les polynômes à une indéterminée, on dit "un polynome est la somme
d'une infinité de monômes où les coefficients sont tous nuls sauf un nombre fini".
que l'on écrit


où les sont tous nuls sauf un nombre fini et l'ensemble d'indices est infini.

Dans la décomposition unique d'un entier N en facteurs premiers

où
on peut écrire


où les sont tous nuls sauf un nombre fini.

on peut dire que les sont les coordonnées de l'entier N
et qu'à un produit de deux entiers correspond la somme de leurs coordonnées
dans la base

si





visuellement, les entiers non nuls N sont alors disposés en un résau cristallin extrêmement simple où les diviseurs de l'entier sont situés
dans le plan de direction

l'ensemble des entiers premiers est simplement les vecteurs de base
de la boule unité (coordonnées (0,0,0...,1,0,0,0,0,0..))

i) peut-on appliquer la théorie géométrique des CW-simplexes
et la cohomologie à cette structure ?
on aurait bien une famille de morphismes élémentaires

(projection sur le ième vecteur de base)

qui vérifierait


mais malheureusement il n'y a pas de structure de groupe additif
sur les coordonnées mais seulement une addition sans opposés

est-ce que l'on peut quotienter des monoïdes comme on quotiente des groupes additifs ? rien n'est moins certain


ii) la démo habituelle de l'infinité des nombres premiers
dire que la somme
a un diviseur premier distinct des
ce qui fait sortir de la variété affine de direction et génère une dimension de plus est obscure avec cette vision géométrique puisque l'addition d'un entier avec 1, n'y existe pas (la somme des coordonnées correspondant au produit)

iii)
d'autre part, les exposants entiers sont eux même des entiers
et il y a donc une structure pyramidale où les exposants se redécomposent
en produit d'entiers premiers.

par exemple
la seule démo que je connaisse qui exploite cette structure
est celle de Gödel de l'incomplétude de l'arithmétique où il l'utilise
pour numéroter les assertions du langage.

y-a-t-il une structure algébrique sur cet ensemble de pyramides ?
ça ferait une opération sur des graphes ?

conclusion comment les matheux font de l'algèbre avec les nombres premiers ? ils utilisent les valuations p-adiques ? est-ce qu'ils arrivent à dégager des morphismes ?

à vous lire..

[mathelot]

il y a une autre façon de voir les entiers premiers:

c'est de partitionner visuellement les points du plan de coordonnées
entières (x,y) avec et selon la famille d'hyperboles équilatères
d'équation XY=xy.
ça range tous les points du quadrant supérieur droit selon les
diviseurs de N=xy et les entiers premiers apparaissent
sur les bords (les axes d'équation X=1 et Y=1). ce sont ceux qui ne donnent pas de points intérieurs sur les hyperboles.

et si les entiers premiers sont ceux qui ne sont pas sur l'intérieur des trajectoires
des problèmes de Cauchy xy'+y=0, ,N=1,2,3.. ça n'en facilite pas vraiment l'étude.
Il faudrait transformer l'intérieur du quadrant plan x>1 et y>1
en un domaine "holomorphe" , les bords d'équation X=1 et Y=1
en une courbe fermée et les hyperboles comme des courbes intérieures
venant couper le bord.