Endomorphisme

[ludo56]

Bonjour,

soit f L(E)
soit E = somme directe des avec sont les sous-espaces caractéristiques de f

On pose i, x , d(x) = x.

d est-il un endomorphisme de E ? ie est il linéaire?
merci!

[alavacommejetepousse]

bonjour

question mal posée
a priori d n est défini que sur la réunion des Ni

en fait il existe un unique endo d de E tel que sa restriction à chaque Ni soit di un endomorphisme de Ni imposé

donc oui

[ludo56]

donc d'après ce que j'ai compris, il faudrait poser :

d = ° + ... + °avec les projecteurs (endomorphismes de E) qui envoie x E sur son projeté sur et l'homothétie (endomorphisme de ) de rapport .
c'est ça ?

[alavacommejetepousse]

moui mais non car la composition n'a pas de sens entre un endo de E et de Ni

en revanche on peut l 'écrire pour x = sigma(x(i) )

d(x) = sigma lambda (i) x(i)

[ludo56]

je ne comprends pas pourquoi ça n'a pas de sens car quand on applique à x E ça l'envoie dans puis on applique ceci à qui l'envoie dans ...

[Ben314]

La composé d_i o p_i n'a de sens que si l'espace d'arrivé de p_i est contenu dans celui de départ.
si tu considère que les projection p_i sont des endomorphismes de E dans E alors tu n'as pas le droit de faire la composée.
Par contre tu peut voir les p_i comme des morphismes de E dans N_i et dans ce cas tu as le droit de les composer.
La différence entre les deux point de vue peut parraitre con-con, mais si tu réfléchi un peu, dans le premier cas la (une) matrice associée à p_i sera une matrice carré et dans le second cas une matrice non carré et là on voit que la différence est importante...

[LoLLoLLoL]

Qu'appelle tu sous espace caracteristique ? ( ie sous espace propres ?)

[Ben314]

A mon avis, il vaut mieux suivre le conseil de alavacommejetepousse
et écrire simplement que :
f(x)=\lambda_1.x_1+\lambda_2.x_2+...\lambda_s.x_s
lorsque x=x_1+x_2+...x_s est la décomposition de x suivant les espaces N_i

ca évite toute ambigüité sur qui sont les p_i (E->E ou E-> N_i ?).

[ludo56]

Qu'appelle tu sous espace caracteristique ? ( ie sous espace propres ?)

le sous-espace caractéristique de est Ker avec \alpha la multiplicité de \lambda.

merci pour toutes ces précisions !

[yos]

En quoi la question est-elle mal posée?
Un endomorphisme peut être défini de diverses façons : par l'image d'une base, ou comme ici, par sa restriction à chaque terme d'une somme directe.
Ce qui est bizarre, je vous l'accorde, c'est de demander ensuite si c'est un endomorphisme.

[Ben314]

tout à fait thierry !!!!
(j'en déduit qu'il en est sans doute au début de l'alg. linéaire. et que ce ne doit pas être complètement clair que l'on peut définir les endomorphismes de différentes façon...)

[yos]

Les s.e.c., c'est pas tout à fait le début de l'algèbre linéaire. Le fait qu'ils soient en somme directe nécessite le théorème de décomposition des noyaux.

La décomposition de d en combinaison linéaire de projecteurs que propose ludo56 est tout de même pertinente.
L'écriture vaut bien .

[alavacommejetepousse]

En quoi la question est-elle mal posée?
Un endomorphisme peut être défini de diverses façons : par l'image d'une base, ou comme ici, par sa restriction à chaque terme d'une somme directe.
Ce qui est bizarre, je vous l'accorde, c'est de demander ensuite si c'est un endomorphisme.

bonsoir

on définit a priori

d uniquement sur l union des Ni donc ce n'est même pas une application de E dans E

la question bien posée serait : montrer qu'il existe un unique endo de e dont la restriction à chaque Ni est ...