Recouvrement "minimal" d'une surface

[alphattm]

petite parenthèse, je te remercie de réfléchir avec moi, c'est 10x plus prolifique que si j'avais été tout seul

[Maks]

Ok, on a resumé un peu la situation, ça ne fait pas de mal. Alors alors ... Déjà, je pense qu'il faudrait garder R et R' comme variable, et ne pas fixer R' à 1. Je ne vois pas pourquoi on devrait le fixer. On aura juste une fonction de deux variables à la fin, et ça n'est pas un problème.

Ensuite, pour ton problème de R' < R, je pense que ce n'est pas important. En effet, on voit bien (hum, hum) que dans ce cas, on a une aire trop grande. Je pense qu'on peut le montrer en calculant l'aire lorsque R=R' et en montrant qu'elle n'est pas minimale. Ensuite, on voit bien (hum, hum) que si R' diminue davantage, l'aire augmente davantage. Au final, on pourrait donc limiter l'étude à R'>R.

PS : je base toutes mes constatations sur une figure interactive que j'ai créée, et qu'on peut manipuler très facilement, si ça t'intéresse.

Pourrais-tu poster quelques graphes de f maintenant que tu l'as corrigée, s'il te plaît ?

[alphattm]

je veux bien ta figure ( je savais que j'aurai du prendre info :p )

graphes avec : largeur = R
profondeur = a
hauteur = aire



sous un autre angle :

[Maks]

Euh, j'ai juste tapé un truc du genre "logiciel figure géometrie" dans google, et je suis tombé sur GeoLabo, un logiciel en Java très facile d'utilisation et gratuit. J'ai mis 5 minutes à faire la figure du problème, et je peux faire varier R' sans problème. Pas besoin d'option info pour maitriser ça ^^

Sinon, je rêve où s'annule ?! Si oui, il faudrait m'expliquer ...

[alphattm]

illusion d'optique, ça tend vers 0 mais ne s'annule jamais, ça doit être pour les valeurs mini : a=0.01 et R = 0.01 un truc comme ça, illusion d'optique

[Maks]

Euh pourtant, j'ai signalé que quand R' tendait vers 0, la fonction tendait vers son maximum ... (cf mon troisième schéma, en page 4 je crois) C'est bizarre ton histoire ... Et puis de toute façon, n'a-t-on pas convenu de ne pas traiter le cas R'

[Maks]

Est-ce que tu pourrais nous tracer la premier bissectrice du plan (Oxy) (R=R'), s'il te plaît ?

[alphattm]

longueur = R'
profondeur = R

[alphattm]

pardon mauvaise manip je recommence

enfin je suis désolé mais avec ce graphique c'est lisible, et c'est bien un maximum

[Maks]

Non mais ok. Si la fonction est correcte, il semble qu'il y ait un rapport R/R' la rendant minimale, non ?

[alphattm]

bah minimale .... je pense que dans la partie que tu qualifie de minimale, elle tend vers 0 donc on a pas vraiment de minimum que l'on peut atteindre, mais par contre je pense que si on rajoute le fait qu'on veut construire une couronne entière et sans déborder ( les centres sont des racines de l'unité ) on doit pouvoir dégager une aire minimum. Je vois toujours pas quel rapport il pourrait y avoir entre R et R'.

[Maks]

Si f tend vers 0 quand tend vers , alors en effet, il va etre dur de trouver un minimum en . Cependant, je ne comprends pas pourquoi tu dis qu'en passant à la couronne, on pourra trouver un minimum. Si on ne peux pas trouver de minimum pour trois cercles, nous n'en aurons pas pour plus. Ensuite, je parle du rapport R/R' pour évoquer la droite "de plus basse altitude", grâce aux quelques vues que tu me montres. En effet, si on regarde bien, l'espèce de triangle pointé vers l'origine semble plus penché vers la gauche que vers la droite, donc f est plus petite sur ce côté du triangle. Je ne sais pas si je suis très clair. Un petit schéma indiquant l'endroit dont je parle (ligne vert fluo) :

.

Donc au final, je pense qu'il faudrait trouver l'équation de cette droite (qui passe vraisemblablement par (0,0), et choisir R et R' en conséquence. Est-ce que je suis clair ?

[alphattm]

je reste sur mon idée que l'on pourrait fixer a=1, regarde les graphes que j'obtiens :

a=1 ,R varie de 0.1 à 1



a=10, R varie de 0.1 à 10

[alphattm]

ok j'ai compris ^^ d'ailleur on voit le point dont tu parles sur mes deux graphes
ce que je ne comprends pas c'est ce que l'on perd à fixer a=1 et faire varier R. Ca simplifiera les calculs en plus d'être pratique pour les racines de l'unité. Mais là encore je m'avance beaucoup sans en être très sur. En fait c'est plutôt que je ne comprends pas vraiment.

[Maks]

Non mais je suis d'accord sur le fait qu'on peut fixer "R=ce que tu veux", sans perte de généralités, mais puisqu'on est partis sur une fonction de deux variables ... De plus, les racines nièmes ne sont pas forcemment sur un cercle de rayon 1, tu sais ... J'ai l'impression que c'est ça qui te gêne en fait, non ? Enfin bref, nous avons maintenant deux options : soit on fixe "R=ce que tu veux", soit on continue dans le cas le plus général qui soit. Ensuite, si tu choisis la première option, il faut que tu trouves la valeur de R' rendant minimale f (ce qui se lit directement sur tes graphes); si tu as choisis la seconde option, il faut trouver l'équation de la droite que j'ai mis en vert fluo. Après, on pourra finaliser la chose en s'attardant sur les racines nièmes, et qui sait, regarder la seconde couronne, voire d'autres méthodes de recouvrement. Qu'en penses-tu ?


PS : je parle de "R=ce que tu veux", mais on peut bien sûr inverser les rôles de R et R', c'est-à-dire fixer R' et trouver R en conséquence ...

[alphattm]

ce que tu dis sur les racines n-ièeme est vrai mdr je suis bête je surchauffe. Moi j'ai envie de dire on fait le cas général, mais seulement si ce n'est pas compliquer les calculs pour rien
Ta une idée pour trouver l'équation de la surface ? Parce que moi aucune
Au final on peut pas s'y retrouver en disant que c'est la surface sous la droite qui joint tous les points qui la délimite ?

[Maks]

Tu veux dire pour trouver l'équation de la droite ? Pour t'avouer je comprends pas grand chose à "Au final on peut pas s'y retrouver en disant que c'est la surface sous la droite qui joint tous les points qui la délimite ?" :marteau:

[alphattm]

oui pardon ^^

[Maks]

Et bien là, c'est à toi d'y aller à tatons ... Essaie de superposer au graphe 3d des surfaces du genre , ..., et de voir ce qui colle le mieux avec mon trait vert fluo.

[alphattm]

enfin en gardant à l'esprit que ton trait est une surface comme tu dis