Recouvrement "minimal" d'une surface

[alphattm]

bien j'ai refait mon calcul avec a allant de 0.01 à 3 et R allant de 0.01 à 6 voici la surface obtenue représentant l'aire:



edit : longueur : a
profondeur : R
hauteur = aire

[Maks]

Bon, j'ai un peu la haine là, je venais de taper une réponse, et j'étais pas loggué, donc mon message a été effacé ... Enfin passons, je vais le retaper.

Donc j'ai commencé les calculs hier soir, je t'explique ma démarche (le but ultime étant pour moi de trouver ).

Déjà, j'ai eu exactement la même idée que toi concernant l'emplacement du cercle , j'ai pris son centre en .

J'ai ensuite pris un repère orthonormé .

Voilà alors ma démarche :

Les seules variables sont R et R'.

On veut au final calculer l'aire des intersections, donc on devrait aboutir à un calcul d'intégrale double : il faut les bornes.

1) On cherche les équations des trois cercles
On a déjà facilement


2) Pour , il faut trouver les points d'intersection entre et , puis on en choisit un arbitrairement, et on prend de rayon , qui passe par ce point, et dont le centre est à une distance de .

J'arrive aux coordonnées du centre de :


Au passage, la condition est apparue, pour l'existence d'un point d'intersection (elle était d'ailleurs relativement évidente). Il doit donc y avoir une zone sur ton graphe où n'est pas définie. Ce qui semble être le cas (d'ailleurs, si tu pouvais nommer tes axes, ça serait sympa).

Ensuite, il ne reste "qu'à" calculer les trois intégrales, ce que je n'ai pas encore fait, car cela semble technique. Dis moi déjà si tu as les même résultats que moi pour l'instant.

[alphattm]

pour les aires je ne suis pas passé par les intégrales, comme tu dis c'est technique.
l'abscisse de mon centre de C2 est simplifié mais l'ordonnée correspond donc ça doit être bon

Pour les aires si tu prends des zones d'intersections tu peux décomposer ta zone en 2 parties symétriques

Pour calculer l'aire d'une partie tu peux la trouver en prenant l'aire d'un arc de cercle moins l'aire d'un triangle et voilà ^^ si tu vois ce que je veux dire

[Maks]

Ok pour l'aire, je viens de voir la méthode, elle est sympa. Je vais faire les calculs et je te donnerai , pour voir si tout concorde. Sinon, tu peux me donner l'abscisse que tu trouves pour le centre de ? Il faut absolument être certain des calculs si on veut continuer.

[alphattm]

(a^3 - 2 a R^2)/(2 R^2) avec a=R'

je viens de discuter avec un copain, il aurait un algo tout fait, on pourra comparer après éventuellement

[Maks]

Je viens de voir que mon abscisse n'était pas homogène de toute façon ... Je vais refaire le calcul.

[Maks]

Bon ça va en fait, il manque juste une racine :

[alphattm]

ça se simplifie pas en mettant au même denom ? attend je regarde pour quelques valeurs nos résultats

[Maks]

Ben j'ai pas l'impression ...

[alphattm]

c'est bon, j'ai testé pour 10 valeurs, ça prouve rien mais toi tu trouves une valeure positive moi négative, ça doit juste être qu'on a pas pris le même point arbitrairement !

PS : + - les mêmes valeurs hein ^^ :p

Je suis bête ^^ mon ordonnée = - la tienne

on a tout simplement pas pris le même point ^^ tkp

[Maks]

Ouais, mais c'est quand même bizarre que mon expression se simplifie pas plus ... J'ai pris arbitrairement le point d'intersection à ordonnée positive.

[alphattm]

j'arrive à le simplifier à la main et c'est pareil ^^ même mathematica me le dis

[Maks]

Non c'est bon en fait !! Juste une simplification que j'avais pas vu ! Par contre, je crois que le signe, c'est moi qui ai bon. Il faudrait vérifier que le fait que tu ai le signe opposé n'influe pas sur le calcul de l'aire.

[alphattm]

mets au même denom, développe et refactorise par R'^2 et tu vas voir ^^
Bon je vais manger je pourrai pas repasser avant ce soir / fin d'aprem je vais réfléchir au prob du dernier cercle je pense que tes coordonnées sont bonnes

[alphattm]

nos signe sont opposés et c'est bien normal, un dessin le prouve tu parts d'un coté et moi de l'autre ^^

[Maks]

Oui, c'est bon. Moi aussi je vais manger. Pour le dernier cercle, il faut en effet utiliser les racines n-ième. Je ne vois que ça. Je regarde tout ça cet aprem.

[alphattm]

grande nouvelle, c'est encore faux, en effet lorsque pour les cercles 0 et 1 a=R. Mais si on trouve comment résoudre pour a

[alphattm]

mon dieu, je viens de trouver une erreur monumentale .... qui me fait devenir fou depuis 2 jours : pour l'aire d'un cercle j'ai mis : Angle * Rayon ,OMG

[Maks]

Ok. Ca me semblait aussi bizarre que tu ai trouvé la fonction si rapidement. Je ne mets pas en cause tes capacités mathématiques, vu que je ne connais pas ton niveau, mais moi, étant en Maths Spé, ça ne me paraît pas trivial. J'ai mis la condition sur et dans un message précédent. Pour les intégrales, ne t'inquiète pas, je peux t'expliquer. Essaie d'expliquer un peu ce que tu fais, s'il te plaît. Cela me permettra de vérifier.

[alphattm]

^^ moi je passe en maths spé. Amen grand manitou ^^

Bah disons que pour trouver f vu que c'est l'ordi qui fait tout ou presque ^^
Je n'avais pas vu le problème quand aCette condition est différente de la condition d'existence que j'ai bien vu ( la moindre des choses quand quelqu'un répond non mais ). Aussi j'ai retracé ma fonction en ajoutant ce paramètre a >= R ce qui diminue de manière notable la taille de la surface. Donc en gros il me reste à traiter le cas a < R ou alors de faire sans ^^.

Donc le problème s'est de trouver l'aire de l'intersection de deux cercles :
cercle de centre (0,0) et de rayon R et
cercle de centre (a,0) et de rayon R
AVEC a < R
c'est à dire que les centres de mes cercles appartiennent au disque de centre l'autre cercle.

Et donc je cherche l'aire de l'intersection et là je bloque. Voilà,

PS : autre chose, est ce que ça changerait vraiment quelque chose de fixer a=1, je ne pense pas mais j'en suis pas sur

PPS : pour ce que je fais, j'ai rien changé au principe, juste le calcul d'aire qui était faux

PPPPS : Sinon pour la fonction f c'est pas bien sorcier, f=2*aire(0 et 1) + aire (1 et 2 )
chacune des expressions étant trouvé grâce à la formule magique avec le triangle et l'arc

PPPPPPPPPPPS : en gros une fois qu'on a les coordonnées de tous nos cercles il nous faut celles de tous les points d'intersection :0 et 1 ( on a ), 1 et 2 ,et 2 et 0
Puis on calcul base et hauteur des triangles. On a de beaux triangles rectangles ce qui va nous amener à l'angle de l'arc et puis après aire = 2 (aire de l'arc - aire du triangle )