Polynome ordre 3 borné implique coeffs bornés ?

[gourou6]

Bonjour,

Mon problème est le suivant :

Soit un polynome scalaire d'ordre 3 : p(x)=a0+a1.x+a2.x^2+a3.x^3

Ce polynome est borné sur un intervalle fixe :
Pour tout x dans [a,b] , |p(x)|
Celà implique-t-il que les coefficients a0,a1,a2,et a3 sont bornés ?

Si oui, peut-on calculer une borne pour ces coeffs ?

Si non, comment construire un contre-exemple montrant que le polynome peut être borné tout en ayant des coefficients non bornés ?

[abcd22]

Bonjour,
La question est mal posée : quand on dit « soit un polynôme scalaire d'ordre 3 », on se donne 4 coefficients a0, a1, a2 et a3, qui restent fixes dans la suite de l'énoncé, ça n'a pas de sens de dire que ces coefficients sont bornés ou non.

[gourou6]

Je vais essayer de reformuler plus proprement :

Soit P3 l'ensemble des polynomes d'ordre 3 bornés sur un intervalle :
P3B = {P=a0+a1.X+a2.X^2+a3.X^3 , tel que pour tout x dans [a,b], |p(x)|
On note A0 l'ensemble des coefficients d'ordre 0 des polynomes de P3B.
A0 = {a0 réel tel que tel que pour tout x dans [a,b], |a0+a1.x+a2.x^2+a3.x^3|
On note A1 l'ensemble des coefficients d'ordre 1 des polynomes de P3B.
A1 = {a1 réel tel que tel que pour tout x dans [a,b], |a0+a1.x+a2.x^2+a3.x^3|
On note A2 l'ensemble des coefficients d'ordre 2 des polynomes de P3B.
A2 = {a2 réel tel que tel que pour tout x dans [a,b], |a0+a1.x+a2.x^2+a3.x^3|
On note A3 l'ensemble des coefficients d'ordre 3 des polynomes de P3B.
A3 = {a3 réel tel que tel que pour tout x dans [a,b], |a0+a1.x+a2.x^2+a3.x^3|
Les ensembles A0,A1, A2 et A3 sont-ils bornés ?
C'est-à-dire peut-on trouver Ma0, tel que pour tout a0 dans A0, |a0|... idem pour A1, A2 et A3.

Si oui peut-on calculer une borne explicite en fonction de a,b et m ?

Si non, comment construire un contre-exemple ?

[abcd22]

Ah là c'est plus clair.
La réponse est non puisque tous les polynômes sont bornés sur tout segment (ou sur tout intervalle qui n'a pas un infini comme borne). Par exemple la famille de polynômes { nX³ + nX² + nX + n, n entier naturel } est incluse dans P3, et aucun de ses coefficients n'est borné.

[gourou6]

En fait , m, a et b sont fixés pour mon problème.

Donc la famille de polynomes Pn(x) =nX³ + nX² + nX + n ne fonctionne pas,
car m étant fixé, on peut toujours trouver un entier n tel que Pn(0) = n > m.

Par exemple je sais que les coeffs des polynomes bornés d'ordre 1 sont bornés, et que l'on peut calculer des bornes explicites pour a0 et a1 :
|a0|< m et |a1|<2*m/(b-a).

On peut le faire aussi pour les polynomes d'ordre 2.

Ma question est donc : peut-on étendre ce résultats aux polynomes d'ordre 3 ?

[gourou6]

J'ai fini par trouver tout seul :

on prend 4 valeurs x1,x2,x3 et x4 distinctes 2 à 2 dans [a,b]
on note X=[a0 a1 a2 a3] le vecteur des coeff du polynome
Y=[y1 y2 y3 y4] les valeurs prises par le polynome en x1,x2,x3 et x4
on a Y=M.X avec M matrice de Van Der Monde donc inversible car les xi sont 2 à 2 différents.
Donc X=Q.Y avec Q=(qij)=M^-1
Et ainsi |a0| < ymax * (|q11|+|q12|+|q13|+|q14|) par inégalité triangulaire.
Idem pour a2,a3,a4 ....