Relations binaires - Borne inf, borne sup

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Lyam
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Relations binaires - Borne inf, borne sup

par Lyam » 17 Nov 2010, 00:24

Bonjour,


Voici un exercice qui me pose quelques problèmes sur la fin :

Soit E = {(a,a),(a,b),(a,f),(b,d),(c,a),(f,d),(a,e)}

1) Déterminer le plus petit ensemble G' tel que G c G' c E² pour que G' représente le graphe d'une relation d'ordre R sur E. Justifier votre choix.

2) R est elle une relation d'ordre total ? Partiel ? Pourquoi ?

3) On considère F1 = {b,d,f} et F2={a,c,e,f}. Déterminer, pour chacun de ces deux sous-ensembles de E, l'existence d'une borne supérieure, d'une borne inférieure, d'un plus grand élément, d'un plus petit élément.


Les deux premières questions et la seconde partie de la question 3 ne me posent pas de problème (du moins je ne pense pas....), mais j'avoue que j'ai du mal à saisir comment faire la première partie de la question 3 sur les bornes inférieure et supérieure.

Ce que je ne comprend pas, c'est comment peut on trouver les majorants des éléments de F1 et F2 vu que ceux sont des lettres ? J'imagine que ça sera des lettres qui seront dans G et pas dans F1 et F2 mais je ne vois pas comment les choisir. Et donc du coup je bloque....

J'apprécierais énormément un petit indice pour m'aider (et m'expliquer :we: ) pourquoi telle ou telle lettre est majorant (minorant) de F1 ou F2.

Merci d'avance !!



kasmath
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par kasmath » 17 Nov 2010, 00:36

où tu te bloque dans quelle question :hein:

Lyam
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par Lyam » 17 Nov 2010, 00:38

Dans la question 3 pour trouver les bornes supérieures et inférieures

kasmath
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par kasmath » 17 Nov 2010, 00:49

Lyam a écrit:Dans la question 3 pour trouver les bornes supérieures et inférieures

puisque les deux ensembles sont finies alors forcément il existe un qui est plus grand donc borne sup existe de même pour la borne inf
t'a compris

Lyam
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par Lyam » 17 Nov 2010, 00:54

Hum....pas tellement....

Je dois bien trouver le plus petit des majorants et le plus grand des minorants ?

Mais comment je trouve les majorants et minorants ?

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Ben314
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par Ben314 » 17 Nov 2010, 00:57

kasmath a écrit:puisque les deux ensembles sont finies alors forcément il existe un qui est plus grand donc borne sup existe de même pour la borne inf
t'a compris
Ah bon ???
Donc, par exemple, si je prend la relation d'ordre sur N définie par aRb ssi a=b (tu peut vérifier que c'est bien une relation d'ordre), tu peut me donner la borne sup de l'ensemble {0,1} ?
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Ben314
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par Ben314 » 17 Nov 2010, 01:07

Salut,
Pour F1={b,d,f}, comme d est plus grand que d et f, c'est que c'est le plus grand élément de F1 (il est dans F1 et il est plus grand que tout les autres). C'est donc forcément aussi la borne supérieure(= le plus petit majorant)
Par contre F1 n'a pas de plus petit éléments : b n'en est pas un car il n'est pas plus petit f; f n'en est pas un car il n'est pas plus petit b; d n'en est pas un car il n'est pas plus petit b.
Pour savoir s'il y a ou pas une borne inférieure (=un plus grand minorant), il suffit de dresser la liste des minorants de F1 : c'est c,e,a (ils sont tout les trois plus petit que b,d et f). Parmi ces 3 minorants, il y en a un plus grand que les deux autres : c'est a. C'est donc lui le plus grand minorant, c'est à dire la borne inférieure.

Pour F2={a,c,e,f} , tu devrait trouver qu'il y a un plus grand élément (qui est donc la borne sup) mais qu'il n'y a pas de plus petit élément, ni de borne inférieure.
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Lyam
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par Lyam » 17 Nov 2010, 01:17

Pour la borne inférieure de F1, je ne comprend pas pourquoi c, e et a sont plus petits que b, d et f. Dans G', on a pas bRc, bRe ou bRa. Or ce n'est pas ça qu'il faut pour pouvoir dire qu'ils sont plus petits ?

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Ben314
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par Ben314 » 17 Nov 2010, 01:26

Bon, dans tout ces exos là, il faut s'entendre sur qui est qui :
Tu est d'accord que vu que (a,b) est dans G, on a aRb.
Pour toi, dans cette notation, c'est qui le "plus petit" des deux ?
Perso, j'ai considéré que c'était a.
Si tu considère que c'est b, alors, dans mon post précédent, il te suffit de tout inverser (d est le plus petit élément et a est la borne sup)
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kasmath
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par kasmath » 17 Nov 2010, 01:27

par exemple dans F1 = {b,d,f} on a


sa sera facile pour trouver l'inf de F2
et de même pour F1

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Ben314
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par Ben314 » 17 Nov 2010, 01:32

kasmath a écrit:par exemple dans F1 = {b,d,f} on a
Peut tu m'expliquer ce que désigne le symbole '+' dans un tel contexte ? (et je te parle pas de la division par 2 ou de la valeur absolue...)

Il me semble que pour expliquer comment on raisonne avec une relation d'ordre "théorique", ça serait mieux que tu sache ce que c'est : ici l'exercice n'a absolument rien à voir avec la relation d'ordre sur les réels : l'ensemble de départ E={a,b,c,d,e,f} est un ensemble de 6 lettres qui ne représentent pas des réels et la relation est définie à l'aide de son graphe (une partie de ExE)

La seule chose que l'on sait concernant ces 6 lettres, c'est que l'on peut les "comparer" à l'aide de la (mystérieuse) relation R. On ne peut ni les ajouter, ni en prendre la valeur absolue, ni les diviser par 2.
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kasmath
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par kasmath » 17 Nov 2010, 01:37

ta raison j'ai pas bien lis l'énoncé merci j'ai cru que F1 et F2 des parties de R

Jerk
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par Jerk » 27 Nov 2010, 22:22

Bonsoir,

Je suis actuellement sur le même exo mais j'ai un problème sur la première question, je ne vois pas trop comment représenter G'.
En fait, si je pars de toutes les combinaisons possibles entre a et b (ça fait un gros ensemble) et que j'applique l'antisymétrie à cet ensemble, je me retrouve avec seulement G' = {(a,a),(b,b)...(f,f)} ce qui n'est pas à priori la bonne réponse...
Je suis parti du principe que si on avait (a,b) et (b,a) dans l'ensemble alors la réunion des deux faisait (a,a) et j'arrive donc à ce résultat.

Quelqu'un pourrait-il me dire où se situe l'erreur de raisonnement et comment la corriger svp?

Merci d'avance.

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Ben314
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par Ben314 » 27 Nov 2010, 22:38

Salut,
Tu prend une belle feuille et un joli stylo bille (ça marche aussi avec un crayon... :hein: ) puis tu fait six croix avec au dessus a, b, c, d, e,f.
Ensuite tu trace une flèche de a vers a (car (a,a) est dans E), une de a vers b (car (a,b) est dans E), etc : cela représente la relation de départ.

Sauf que tu veut une relation d'ordre c'est à dire qui soit :
Réflexive => tu trace une flèche qui va de x à x pour tout les x (souvent on les trace pas, elles sont "sous entendues"
Transitive => si tu as une flèche d'un point x à un point y et un autre de y à z alors tu trace une flèche de x à z (attention à ne pas en oublier...)
Antisymétrique => y'a rien à tracer, juste à vérifier qu'il n'existe pas deux points distincts x et y tels qu'il y ait à la fois une flèche de x vers y et une autre de y vers x.

Tout l'exercice se fait ensuite en regardant ce dessin...
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Jerk
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par Jerk » 27 Nov 2010, 22:44

OK, merci de ta réponse rapide :)

Juste une précision (j'ai du mal avec l'antisymétrie...) si j'ai une flèche qui va de x vers y et une autre de y vers x (donc le couple (a,b) et le couple (b,a) [j'ai bon jusque la?]), je fais quoi? D'après la définition alors X = Y, c'est à dire que a = b?
Si oui je reviens à mon point de départ et je tourne en rond :s

J'étais parti sur la piste du dessin au début mais c'est cette réflexion sur l'antisymétrie qui me chagrine... c'est vraiment flou

Thx

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Ben314
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par Ben314 » 28 Nov 2010, 00:11

Si tu as a un moment donné à la fois une flèche de a ves b et une autre de b vers a, c'est foutu : ca veut dire que, dés le départ, il n'était pas possible de "compléter" la relation pour en faire une relation d'ordre. (si tu regarde bien, ça voulait dire qu'au départ il y avait un "cycle" de flèches : a->b->c->...->a )
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Jerk
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par Jerk » 28 Nov 2010, 21:22

Bon j'ai fait quelques recherches ce soir et voici ou j'aboutit :
G' = { (a,a) , (a,b) , (a,d) , (a,e) , (a,f) , (b,d) , (c,a) , (c,b) , (c,d) , (c,e) , (c,f) , (f,d)}
En appliquant la transitivité à G essentiellement.
J'ai bon?

Bonne soirée

Lyam
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par Lyam » 28 Nov 2010, 21:34

Si je ne me suis pas trompé, avec la reflexibilité tu dois avoir en plus (b,b) ; (c,c) ; (d,d) ; .... ce qui rajoute encore des couples pour que la relation reste antisymétrique et transitive. Si je ne me suis pas trompé....

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Ben314
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par Ben314 » 28 Nov 2010, 21:59

Jerk a écrit:Bon j'ai fait quelques recherches ce soir et voici ou j'aboutit :
G' = { (a,a) , (a,b) , (a,d) , (a,e) , (a,f) , (b,d) , (c,a) , (c,b) , (c,d) , (c,e) , (c,f) , (f,d)}
En appliquant la transitivité à G essentiellement.
J'ai bon?

Bonne soirée

C'est correct à condition de rajouter les couples (x,x) comme te l'a signalé Lyam.
Aprés, je trouve ça nettement plus pratique de raisonner avec un dessin :
Image
sur lequel on ne représente ni les boucles, ni les flèches qui se déduisent par transitivité : on "voit" quand même trés bien sur le dessin que c<e ou que a<d.
En particulier, sur ce dessin, on "lit" assez faiclement si F1 et F2 ont des plus grand/petit éléments ainsi que s'ils ont des borne sup/inf.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Jerk
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par Jerk » 28 Nov 2010, 22:14

Euh je ne comprends pas ton dessin... On n'a jamais appris à raisonner comme cela et j'avoue que ça ne me parle pas du tout. Pourquoi toutes les flèches sont-elles vers la gauche?
(a,b) est dans G donc la flèche devrait aller de a vers b non?

OK je vais rechercher en rajoutant (b,b), (c,c) ... et les associés par transitivité.

Merci

 

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