Condition de diagonalisation

par **Otsego** » 24 Avr 2009, 14:39

Bonjour,

Voici l'énoncé :

Dans R^3, A matrice associée à un endomorphisme f.
Dans la base canonique
A =
1 1 -1
1 1 1
1 1 1

1)Montrer que A est diagonalisable
2)calculer le polynome caracteristique de A.
Determiner les valeurs propres de A.
Quelle est la dimension des sous espaces propres?

Je ne voi pas comment repondre a la question 1 sans repondre a la question 2, y a il un moyen ?

par **Joker62** » 24 Avr 2009, 17:09

Tu es sûr de ta matrice ?
Elle serait pas symétrique par hasard ?

par **Otsego** » 25 Avr 2009, 10:52

oui je suis sur de la matrice, c'est tiré du sujet B de la banque PT 2008.

par **XENSECP** » 26 Avr 2009, 09:14

En calculant A^2 et A^3 on trouve des trucs intéressants :)

Genre A^3-3A^2+2A = 0 ^^

par **Joker62** » 26 Avr 2009, 09:16

Oui mais le problème c'est que ça n'a rien d'un polynôme annulateur "simple"
Et en plus, c'est le polynôme caractéristique que tu donnes. Donc bon, y doit avoir un truc plus subtil :)

par **XENSECP** » 26 Avr 2009, 09:23

Evidemment que c'est le PC... d'après Hamilton Cayley !
Enfin bon il est peut être pas simple mais avec un calculette, je l'ai trouvé en moins d'une minute :D

En même temps en regardant la matrice tu peux pas vraiment conclure... A part que 0 est vp simple et que la somme des 2 autres est 3 !

par **Joker62** » 26 Avr 2009, 09:38

Evidemment que c'est le polynôme Caractéristique ? J'vois pas ce qu'il y a d'évident là dedans mais bon...

Et donc, c'est ça le hic, on peut pas vraiment conclure. On est même pas censé savoir qu'il y a trois valeurs propres...
Bon 0 c'est sûr.
Le reste, mystère.

par **Otsego** » 26 Avr 2009, 15:04

donc le seul moyen de repondre a la question 1 reste de repondre a la question 2 ?

par **Joker62** » 26 Avr 2009, 15:21

Bé oui le sens habituel est de faire 2) puis de conclure par 1)
On connaît pas beaucoup de condition suffisante pour que A soit diagonalisable sans utiliser le polynôme caractéristique ni les valeurs propres...
On peut voir le sujet ?

par **Nightmare** » 26 Avr 2009, 15:40

Salut :happy3:

Si on veut vraiment se passer du polynôme caractéristique ici, on peut simplement écrire la décomposition de Dunford de A :

D est trivialement diagonalisable (0 valeur propre double puisqu'elle est de rang 1 et 3 est une valeur propre simple).

A est donc diagonalisable.

On peut d'ailleurs répondre rapidement aux autres questions puisqu'alors

par **Joker62** » 26 Avr 2009, 16:01

C'est A-N qui est diagonalisable et qui a le même polynôme caractéristique que D non ?
(Avec N la matrice de la décomposition)

par **Nightmare** » 26 Avr 2009, 16:09

Non c'était bien A tout court mais de toute façon je viens de me rendre compte que mes deux matrices ne commutent pas donc ça marche pas :(

Edit : Non évidemment tu as raison, A est diagonalisable ssi la matrice nilpotente est nulle. Toute façon la question n'a pas lieu d'être vu que ce que j'ai donné n'est pas une décomposition de Dunford ! Je cherche une autre méthode.

par **Maxmau** » 26 Avr 2009, 17:14

Nightmare a écrit:Salut :happy3:

Si on veut vraiment se passer du polynôme caractéristique ici, on peut simplement écrire la décomposition de Dunford de A :

D est trivialement diagonalisable (0 valeur propre double puisqu'elle est de rang 1 et 3 est une valeur propre simple).

A est donc diagonalisable.

On peut d'ailleurs répondre rapidement aux autres questions puisqu'alors

Bonjour
Es tu vraiment sûr de ton raisonnement ??
Id + N (N: nilpotente non nulle ) n'est pas diagonalisable

Je viens de voir ton correctif Ok

par **leon1789** » 26 Avr 2009, 17:38

Heu, pour la première question, on peut faire semblant d'intuiter des choses ?
Oh, (1,-1,0) est dans le noyau !
Oh, (0,1,1) a pour image 2 fois lui-même !
Oh, (-1,1,1) est fixé par la matrice !

Non ?
EDIT : bon, ok, ça fait tourner l'exo à l'envers... pas terrible.

par **Joker62** » 26 Avr 2009, 17:51

Bon ça va on est pas les seuls

Correction du sujet : http://pagesperso-orange.fr/cristofari/PDF/Devoirs/Sujet%202008%20Bcor.pdf

par **Otsego** » 27 Avr 2009, 09:22

bien joué pour la trouvaille, merci!

par **Joker62** » 27 Avr 2009, 10:22

Oui bon si c'est un DM pour les vacances, fais semblant d'avoir bosser quand même lol

par **Otsego** » 27 Avr 2009, 13:21

non c'est pas du tout un DM, je passe la banque pt dans une semaine!

par **Joker62** » 27 Avr 2009, 13:33

Ah oki

Bé y'a tout les sujets ici alors [url="http://pagesperso-orange.fr/cristofari/devoirs.htm"]http://pagesperso-orange.fr/cristofari/devoirs.htm[/url]

Bon courage

par **Otsego** » 27 Avr 2009, 16:44

Oui j'ai fait un peu le tour encore merci.

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