bonjour,
voici un exercice de mon exam... que j'ai passé!
soit D Une metrique tq: D(x,y)= valabs(x) +valabs(y) si x diff de y 0 sinon
et d la metrique usuelle d(x,y)= valabs(x-y)
1. monter que (xn) est convergente ssi (xn) est constante à partir d'un certain rang ou lim xn=0 ds (R,d) quand n tend vers infini
2.(R,D) est il compact?
3.(R,D) est il complet?
Voici à peu prés ce que j'ai mis:
1. (xn) est convergente ssi lim xn=x ssi lim d(xn,x)=0 ssi lim (valabs(xn) +valabs(x))=0 ssi lim valabs(xn) + valabs(x) =0
ssi lim xn=0 ds (R,d) car valabs(xn)<= valabs(xn) + valabs(x) -> 0
ou lim xn = -valabs(x) x appartient à R
d'ou le resultat
2. il faut trouver une sous suite (x'n) de (xn) qui soit convergente or ici il n'existe aucune sous suite qui soit constante à partir d'un certain rang
donc il n'existe pas de sous suite qui soit convergente
donc (R,D) non compact
3.soit (xn) une suite de cauchy.Montrons qu'elle est convergente
soit r>0 il existe n0 ds N tq (Valabs(xn) + valabs(xm) )< r qqsoit n,m > n0
d'ou (valabs(xn)-valabs(x0))n0
et com valabs(xn)< -------------------alors lim d(xn,0)=0 donc lim xn = 0 dans (R,d)
donc (xn) est convergente dans (R,D) d'ou (R,D) est complet
hello merci de ta reponse
donc la 1 et la 3 j'aurai les points?
pr la 2 , comme ça me semblait trop facile de dire que (R,D) était compact pr conclure que (R,D) était complet j'ai utilisé un peu o piff j'avoue la question 1
voila si tu peux m'eclairer ? MERCI
mais pour la 2 mon raisonnement est pas si faux que ça car une sous suite x'n est constante quand xn est bornée or ici (R,D) n'est pas bornée
donc il n'existe pas de sous suite qui soi constante donc par la kestion 1 x'n n'est pas convergente
Bonjour,
Faut faire attention : en dimension finie et pour une norme (pas une distance) on a équivalence entre fermé borné et compact. En l'occurrence ici je n'ai pas l'impression que D vienne d'une norme.
Pour revenir à l'exo, c'est globalement juste, mais il manque deux ou trois petits cas particuliers, et c'est rédiger de façon assez spéciale...
fabulous62 a écrit:D(x,y)= |x| +|y| si x diff de y ; 0 sinon
lim xn=x lim D(xn,x)=0 lim (|xn| +|x|)=0
soit (xn) une suite de cauchy. soit r>0 il existe n0 ds N tq (|xn| + |xm| ) (xn) est constante à partir d'un certain rang, ou lim xn=0 ds (R,d)
2. il faut trouver une sous suite qui soit convergente or ici il n'existe aucune sous suite qui soit constante à partir d'un certain rang donc il n'existe pas de sous suite qui soit convergente
