Espace metrique et Topo

[fourize]

bonjour !

j'ai un très long exercice de L3 à faire, et j'ai besoin de votre assistance pour voir plus claire et pouvoir le finir au pire dans les 48 heures qui suivent :
voila ce qui me pose problème pour le moment:

Dans tout l'exo, on se donne un espace metrique (E,d) et on introduit l'ensemble K de parties de E défini par :
K = {tel que A est un compact non vide de (E,d) }
pour tout et pour tout on definit
1) demontrer que pour tout , la fct est lipschitzienne ???

je pensais pouvoir me trouver un k=1 qui verifie la définition d'une fct lipschitzienne, mais je tourne en rond. je ne vois pas ce que je dois me donner et ce que je dois trouuver !? (recurent en ce debut de L3)

pouvez vous m'indiquer les pistes à suivre ? et sur quoi je dois y arriver?

[Nightmare]

Salut !

Ici, il faut vérifier que pour tout x et y dans E,

Ce qu'il faut voir, c'est que quelque soient x et y . Vois-tu pourquoi?

[fourize]

Mmmmh ! je dirais non!

en fait: la première expression est la définition d'une fonction lipschitzienne avec k= 1 (jusque la ça roule)
après la deuxième! je dirais t'as enlevé les valeurs absolues et ta fais passé le terme en (-) au second membre.
seulement je me demande pourquoi virer les valeurs absolues? (est ce, si c'est le cas, l'innegalité ne change pas) ??

PS. je ne dirais pas non "à plus d'explication".

[Nightmare]

Alors, fais un dessin : Une droite, deux points au dessus. On sait qu'ici la distance des points à la droites est égale à la distance entre ces points et leurs projetés orthogonaux respectifs sur la droite. Je note A et B ces deux points, P et Q leurs projetés orthogonaux respectifs et D la droite.

Ce qu'on veut montrer, à savoir revient ici à montrer que

Voila l'idée avec les points, je te laisse la retranscrire en terme de distance (j'espère que tu as le même schéma que moi)

En fait, on sait que si l'on place un point I sur la droite D, par inégalité triangulaire on aura forcément

Et en particulier pour n'importe quel point I sur la droite D, (puisque pour tout I sur D.)

Ceci étant dit, à epsilon fixé, on peut toujours trouver un point I' sur la droite tel que , du coup, en prenant I=I', et vu qu'on peut prendre epsilon aussi petit que l'on veut, on a en particulier

Tu as suivis?

[kazeriahm]

Mmmmh ! je dirais non!

en fait: la première expression est la définition d'une fonction lipschitzienne avec k= 1 (jusque la ça roule)
après la deuxième! je dirais t'as enlevé les valeurs absolues et ta fais passé le terme en (-) au second membre.
seulement je me demande pourquoi virer les valeurs absolues? (est ce, si c'est le cas, l'innegalité ne change pas) ??

PS. je ne dirais pas non "à plus d'explication".

Le conseil de Nightmare est de montrer la deuxième égalité pour arriver à la première. Il ne s'agit pas "d'enlever" les valeurs absolues.

L'inégalité triangulaire entre x, y et un élément de A peut t'aider.

[busard_des_roseaux]

bonjour,

autre méthode:

x fixé, compact A fixé.

la fonction
est continue sur le compact A, admet un minimum en sur A

[fourize]

re,

déjà j'avais dit "une grosse betise", dans mon deuxieme poste d'hier soir, en disant qu'en enlevant les valeurs absolue l'inegalité change(en plein doute:voir mon poste de 22h42) je m'excuse auprès de mateux qui ont fait un bond comme ça!

à l'aide du dessin de Nightmare! j'ai bien compris la deuxieme expresseion mais
est que dans ma redaction, j'ai le droit de balancer ça dans la figure avec une petit phrase du genre :

on sait que pour tout x et y
on a d(x,A) <= d(y,A)+d(x,y)

ou il ya une petite preuve pour l'introdure, et comment !?

[Nightmare]

Non ça c'est ce qu'on veut montrer, vaut mieux pas le balancer comme ça à moins de vouloir prendre le prof pour un con :lol3:

[fourize]

salut Nightmare !

Non ça c'est ce qu'on veut montrer, vaut mieux pas le balancer comme ça à moins de vouloir prendre le prof pour un con :lol3:

maintenant que j'ai compris! comment puis je l'introduire !? :briques:

2)
au passage, en sautant cette redaction, j'ai pu avancer dans l'exo.
un peu plus bas: (*) d(x,A)=0
il me demande de démontrer (*).
le sens => j'ai pu faire mais l'autre sens "<= "

PS. la définition que j'ai de l'adherence est celle des suites; et je ne vois pas le
rapport avec la distance ... ?

cordialement.

[Nightmare]

En fait c'est assez intuitif. L'adhérence de A c'est tout ce qui est dans A puis tout ce qui est au "bord" de A (c'est à dire les limites des suites de éléments de A).

Bon, donc on prend et on considère une suite d'élément de A qui converge vers x.

Pour tout n, (puisque tous les xn sont dans A).

Il reste donc à montrer que . Je te laisse faire !

[fourize]

tralala! (merci)

le 2) c'est fait !

mais revenons à ce que tu m'avais dis debut. je ne vois pas comment introduire
d(x,A) <= d(y,A) + d(x,y)
en fait, maintenant que j'ai compris, à l'aide de ton dessin d'ailleurs, je trouve ça évident (ce qui est faut car je ne voyais pas ça comme ça, il y a 3 h)

comment puis je l'introduire sans brutalité !?

[Nightmare]

Qu'entends-tu par l'introduire?

On veut montrer que |d(x,A)-d(y,A)| < d(x,y) ce qui revient exactement à montrer que d(x,A) < d(y,A)+d(x,y) et même chose en permutant !

[fourize]

re,

d(x,A) < d(y,A)+d(x,y) !

ce qui me pose problème, ce que je vois ça comme évidant ! ce n'est pas du tout . pour poser la question differament!
par quoi commencer pour arriver à cette expression ?

[Nightmare]

Ce que j'ai démontré avec mes points , c'est ça !

[fourize]

re,

Ce que j'ai démontré avec mes points , c'est ça !

OUI, mais ce que tu m 'as montré avec les points et la droite étaient pour comprendre. (un peu brouillon, ça me rappel mes TD ou tout est écrit dans dans tout les sens :doh: ) voila ce que je pense rédiger:

pour tout z, et d(x,z) <= d(y,z) + d(x,y) (*) .
comme cette relation est vraie pour tout z, on a:
d(x,A) <= d(y,A) + d(x,y)
d(x,A) - d(y,A) <= d(x,y)
===================
|d(x,A) - d(y,A)| <= d(x,y) (**)

commentaire:
- déjà j'hesite, si je dois annoncer (*) comme ça: juste OUI! mais est ce ça fait pas trop brutale??
- en mettant ces valeurs absolues à (**), est ce que c'est toujours vraie?

PS. je fais allusion à 3-5 < 1 et |3-5|= 2 ????? :doh:

[Doraki]

Pour les valeurs absolues,
si (a-b) <= c, et si (b-a) <= c, alors |a-b| <= c.

Donc il faut aussi montrer que d(y,A) - d(x,A) <= d(x,y) pour mettre la valeur absolue.
(ce que voulait dire Nightmare dans son "et même chose en permutant")

[fourize]

salut DORAKI !

donc pour toi je dois montrer le "et même chose en permutant" de Nightmare avant d'écrire (**) ?
et si la ou j'ai mit (==============) j'insère ces deux lignes:

par ailleurs: d(y,A) <= d(x,A) + d(x,y)
d(y,A) - d(x,A) <= d(x,y)

est ce ma rédaction, sera correct !?

[Finrod]

En général on justifie en disant " par ailleurs, x et y jouant des rôles symétriques..."

[Doraki]

Ca va.
Mais il faut que tu puisses te comprendre en te relisant et en supposant que t'as jamais fait l'exercice.
Si tu n'as pas l'habitude de ces manipulations, il vaudrait mieux que tu expliques pourquoi tu peux conclure, en rajoutant un petit

|d(x,A)-d(y,A)| est égal à soit d(x,A)-d(y,A) soit d(y,A)-d(x,A) ; or ces deux machins étant chacun <= d(x,y), blablabla etc.

Il n'y a rien de pire que d'écrire des trucs en étant pas certain de savoir d'où ça sort, en se demandant si c'est vraiment vrai.

[fourize]

merci doraki,

je pense que cette obstacte est soulue en même temps j'avancais dans mon exo, et dans la partie II.

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pour tout élément A,B , on définit

* démontrer que est une distance sur K.
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En appliquant la définition d'une distance, j'ai pu demontre les 2; et il me reste l'inégalité triangulaire:

pouvez vous me passer des pistes ou tuyaux ?