Exo sur les groupes

[Angelive]

Bonjour,

J'ai quelques petits problèmes sur un exercice d'algèbre. Alors si quelqu'un peu venir à mon secours, je l'en remercie d'avance!!

Voici l'énoncé:
Soit G=le groupe multiplicatif des matrices 2x2 à coefficients dans R et soit H le sous-ensemble de G défini par:
H={(1 n) , n dans Z}
....{(0 1)
(Désolée pour les petits points mais c'est le seul moyen que j'ai trouvé pour aligner ma matrice!! )
1) Montrer que H est un sous-groupe isomorphe à Z.
Ça je l'ai fait: j'ai montré que H est un sous-groupe de G; puis que H est isomorphe à Z en montrant que f(n)= la matrice de H est bijective (puisque la matrice est inversible) et j'ai appliquée la formule f(x+y)=f(x)f(y).

2) Déterminer le sous-groupe de H engendré par les matrices :
(1 15).....et.....(1 12)
(0 1)..............(0 1)
C'est la que je bloque! je vois comment faire avec des sous-groupes engendrés par des "nombres" mais pas avec des matrices! Comment je dois m'y prendre??

Merci d'avance de votre aide

[Joker62]

Avec les "nombres" tu calcules des puissances ?
Avec les matrices, tu pourrais calculer des puissances non ? :p

[Nightmare]

Salut :happy3:

Par exemple :


Il s'agit donc de calculer les puissances n-ème de la matrice.

Pour cela on peut par exemple écrire :
et utiliser le binôme de Newton.

:happy3:

[Angelive]

Donc si je suis ce raisonnement en appliquant le binome de Newton, je trouve:
<(1 12)> = {(0 1), (0 1) + (0 12) ,(0 1) + 2*(0 12) ,...,(0 1) + n*(0 12) }
<(1 1)>....{(0 0) ,(0 0) ...(0 0) ,(0 0) ......(0 0) ,....,(0 0) ......(0 0)}

et

<(1 15)> = {(0 1), (0 1) + (0 15) ,(0 1) + 2*(0 15) ,...,(0 1) + n*(0 15) }
<(1 1)>....{(0 0) ,(0 0) ...(0 0) ,(0 0) ......(0 0) ,....,(0 0) ......(0 0)}

Donc le sous-groupe engendré par ces 2 matrices ça serait le sous-groupe
{(0 1), (0 1) + (0 3) ,(0 1) + 2*(0 3) ,...,(0 1) + n*(0 3) }
{(0 0) ,(0 0) ..(0 0) ,(0 0) ....(0 0) ,....,(0 0) ......(0 0)} , non?

puisque (0 15) = 5* (0 3) et (0 12)=4*(0 3)
...........(0 0).........(0 0)......(0 0)......(0 0)

[Nightmare]

C'est carrément illisible ! Qui plus est tu as un "1" en bas à gauche de tes générateurs je ne sais pas ce qu'il fait là...

Bref, le binôme de Newton te donne :


Or tu remarques que est nilpotente d'indice 2.
Tu en déduis :


:happy3:

[Angelive]

Désolée pour l'écriture mais je n'arrive pas à dessiner les matrices.
Je suis arrivée à la même conclusion que toi après avoir appliqué le binome de Newton.
C'est la même chose pour l'autre matrice.
Donc le sous-groupe engendré par les 2 matrices, c'est quoi?
c'est la matrice identité + la matrice avec 3n en haut a droite et que des 0 ailleurs?
(J'en ai déduis ca parce que si on soustrait les 2 matrices, c'est le plus petit générateur qu'on trouve?)

[SergeM]

1) Montrer que H est un sous-groupe isomorphe à Z.
Ça je l'ai fait: j'ai montré que H est un sous-groupe de G; puis que H est isomorphe à Z en montrant que f(n)= la matrice de H est bijective (puisque la matrice est inversible)

Tu n'a pas besoin que les matrices de H soit inversibles pour que H soit isomorphe à Z, ce qui doit être inversible c'est ton application f.

f: Z ->H

f^(1): H-> Z
l1 nl -> n
l0 1l

[Doraki]

Euh si on lui demande de prouver que H est un groupe isomorphe à Z à la question 1, c'est pour l'utiliser à la question 2 :

Trouver x et y dans Z tels que x et y correspondent aux 2 matrices que tu donnes via l'isomorphisme que tu as trouvée pour la 1,
déterminer le sous-groupe de Z engendré par x et y, ce qui est un peu plus simple que de travailler dans M2(R),
et pour finir reprendre l'image du sous-groupe par la bijection.