Système orthonormé d'un Hilbert

[MacManus]

Bonsoir !
J'ai commencé mais je n'arrive pas à terminer...

Soit H l'espace de Hilbert suivant : . On pose K(x,y) = (1-x)y si 0yx et (1-y)x si xy1. On définit l'opérateur T de H dans H par :
Tf(x) = pour tout f dans H et x dans [0,1].

T est compact de H dans H et l'ensemble des valeurs propres de T est : pour n1

Je ne parviens pas à faire les questions suivantes :
a) Montrer que le sous-espace propre associé à est engendré par la fonction propre définie par : , pour x dans [0,1] et n1.
b) Montrer que les fonctions forment un système orthonormé dans H.

Merci beaucoup de bien vouloir me venir en aide

[kazeriahm]

Salut

pour la 1) si tu résous Tf=lambda_n*f en dérivant (au sens des distributions) tu dois arriver à une ED je pense

pour la 2) : par système orthonormé tu entends aussi totale ? Le fait que cette famille soit orthonormée ne devrait pas poser de problèmes ?! Pour la totalité de la famille, tu peux utiliser le théorème de décomposition spectrale : montre que ton opérateur est compact et autoadjoint