Ouvert

[cyclique]

bonjour,

Je ne vois pas comment montrer que sym+(n,R) (càd l'ensemble des matrices n*n réelles symetriques et définies positives) est un ouvert de Sym(n,R) (càd l'ensemble des matrices n*n réelles symetriques)

[leon1789]

Hi,
Pour toi, c'est quoi une matrice réelle définie positive ?

[cyclique]

j'utilise la definition suivante:
A est def positive si pour tout vecteur x de R^n\{0}

x^t A x > 0

[leon1789]

j'utilise la definition suivante:
A est def positive si pour tout vecteur x de R^n\{0}

x^t A x > 0

ok !
que penses-tu de l'ensemble ?
que penses-tu de la fonction x -> x^t A x ?

[ThSQ]

Je ne sais pas trop ce que veut dire Léon, une autre façon de faire :

M, symétrique, est définie positive ssi tous les mineurs principaux ont un déterminant > 0.

La fonction qui à M associe les n mineurs principaux, à la valeur dans IR^n, est continue et S+* = f^{-1}(]0,+°°[^n) est donc ouvert.

[yos]

On peut aussi associer à M ses valeurs propres non?

[ThSQ]

Vi, mais il faut montrer que les vp dépendent continument de la matrice, ce qui est vrai mais non trivial, non ?

[Prison Break]

Je ne sais pas trop ce que veut dire Léon,

l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert( si la fct est continue biensure )

[ThSQ]

Certes certes ... mais je ne vois pas comment x -> txAx nous informe simplement sur le caractère ouvert de S+* (mais je serai heureux d'apprendre un truc si Léon veut bien l'expliquer).

Une troisième solution, surdimensionnée, est de montrer que : exp : Sym -> Sym+* est un homéomorphisme (cerise sur le gâteau c'est même un difféomorphisme).

[Doraki]

ok !
que penses-tu de l'ensemble ?
que penses-tu de la fonction x -> x^t A x ?

Ben dire juste ça c'est pas suffisant (et hey bonjour x=0).
Mais il suffit de regarder les x^t A x pour x sur la sphère unité, qui est compacte (dimension finie).
A partir de là on définit f(A) = min (pour x dans Sn) des (x^t A x), qui est une fonction continue, et qui caractérise les matrices définies positives comme étant les matrices A tq f(A) > 0.

On peut aussi associer à M ses valeurs propres non?

Là faut utiliser un truc qui dit que les racines d'un polynôme sont obtenues continuement à partir de ses coefficients.

[leon1789]

Je ne sais pas trop ce que veut dire Léon,

C'est surtout que j'ai pensé à n'importe quoi ... à vouloir aller vite en coup de vent...

[ThSQ]

Ah, Léon a enlevé sa réponse ...

Pour la peine il doit nous trouver un anneau intègre sans aucun élément irréductible (hors cas triviaux ...) :bad3: :lol3: