Problème ouvert ? 2^n et 3^m

[busard_des_roseaux]

Euh mais.. si tu supposes de base que moy(n) = 1/2, c'est pas un peu de la triche et/ou faux ?

ce que je souhaitais, c'était affiner les résultats de l'étude expérimentale

autre idée

je reprend l'idée de Nodgim:
exhiber une suite extraite , extraite de la suite , dont on soit sûr qu'elle contient beaucoup de 1,
parce que pour l'instant personne n'a rien démontré :doh:

je crois qu'il y a un infinité de nombres de Mersenne , avec P premier
on applique le petit théorème de Fermat



d'où, si P est premier, alors p est premier et de plus il existe k tel que:


du fait qu'il y a un repunit (en base 2) en facteur à droite,
est-ce que ça garantirait pas que a beaucoup de 1,
quand P est un entier de Mersenne premier ?

[ffpower]

Alors la réponse est (un peu moins trivialement) OUI :
Pour , 3 est d'ordre modulo ce qui signifie que l'ensemble des modulo () contient exactement le 1/4 des éléments de .
Sauf que, si n est pair, se termine (en base 2) par 001 et, si n est impair, se termine par 011. Comme les éléments de se terminant par 001 ou 011 représentent le 1/4 du total, on en déduit qu'il sont tous des pour n bien choisi.
Conclusion : étant donée une séquence S (en binaire) quelconque, il existe une infinité de n tels que se termine par S001 (et une infinité se terminant par S011).

On peut aussi raisonner par l'autre bout : pour toute séquence S, il existe n tel que 3^n commence par S ( ca revient à obtenir un encadrement qu'on obtient en utilisant la densité des n*theta modulo 1 )
D'ailleurs avec cette approche, en utilisant l'équirépartition des n*theta, on obtient facilement que pour tout p, l ensemble des n tel que 3^n a au plus p zeros est de densité nulle..( c est toujours ca de pris^^)

Sinon, avant d'attaquer le cas général, de chercher des densités assymptotiques et tout, moi je propose qu'on commence par réfléchir sur des petits cas. C'est pas trop dur d'obtenir que l'équation 3^x=1+2^y n'a qu'un nombre fini de solutions ( 3=1+2 et 3^2=1+2^3 ). Est ce que quelqu'un saurait prouver que l'équation 3^x=1+2^y+2^z n'a elle aussi qu'un nombre fini de solutions?

[Ben314]

...parce que pour l'instant personne n'a rien démontré :doh: ...

Il me semble pourtant bien que j'ai montré que, pour tout entier k, il existe une infinité de 3^n dont lest k derniers chiffres en base 2 sont :
111...111001

[busard_des_roseaux]

i) oui , tu a montré dans le fil, que la suite 3^n est une "suite univers"
ie, tout texte y apparait une infinité de fois.

ii)
expérimentalement, Doraki a constaté que S(3^n) était asymptotiquement


à propos:

Pour , 3 est d'ordre modulo

comment ça se démontre ? avec l'indicatrice d'Euler ?

[Ben314]

Je viens de voir un truc en re-regardant la preuve que, si , 3 est d'ordre modulo :
Si on écrit que alors et, pour , ce qui montre que la suite se "stabilise" en base 2 (les n-3 dernières décimales de et de sont les mêmes)
On risque de pouvoir en déduire des choses...

Je me demande en particulier si ça permet pas de résoudre l'équation de ffpower : en supposant bien sûr .
et n'ont pas de solutions.
Si alors
L'équation devient : (donc k doit être impair)
J'ai l'impression qu'en utilisant la stabilité des , on peut conclure (et peut être aussi pour des cas avec un peu plus de 1...)

[busard_des_roseaux]

re,

je vous écrit la conjecture qui concerne en fait un autre aspect :we:

on considère les entiers dans l'ordre
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24 ,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,...

dans cette suite, il y a une sous-suite constitué de puissances (en vert)
la conjecture dit que la différence entre deux termes consécutifs tend vers l'infini

et en particulier

[ffpower]

Ca c'est un résultat moins fort que le fait que le nombre de 1 tend vers l'infini..
ET je crois avoir une preuve de celui là ( à vérifier )
La j'ai pas le temps mais j'écrirai ça tout à l'heure..

edit : bon, bah en fait, j'ai pas :(

[Ben314]

Pour , 3 est d'ordre modulo .

comment ça se démontre ? avec l'indicatrice d'Euler ?

Non, l'indicatrice d'euler te donne uniquement le cardinal du groupe multiplicatif (Z/mZ)* (ensemble des éléments inversibles de (Z/mZ,x) )
Ici, cela te dit uniquement que l'ordre de 3 modulo divise et donc que cet ordre est une puissance de 2 (mais laquelle ?)
Il faut donc étudier .
Tu constate que et que, si alors ce qui permet de conclure.

[Doraki]

L'équation devient : (donc k doit être impair)
J'ai l'impression qu'en utilisant la stabilité des , on peut conclure (et peut être aussi pour des cas avec un peu plus de 1...)

Même pour y fixé, ça ne m'a pas l'air très simple.
On peut forcer autant de 0 qu'on veut après 2^y en prenant le k qu'il faut.
Pour forcer n zéros après le 2^y, il faut prendre un kn particulier modulo 2^(n+1),
et il faudrait montrer que kn augmente trop vite avec n pour espérer trouver une puissance de 3 de la forme 1 + 2^y + 2^truc.
Or, truc >= kn*y : plus précisément, on veut avoir une inégalité du style kn*y > y+n, pour n suffisamment grand.
Or, kn est du genre à augmenter exponentiellement avec n en théorie.
Il faudrait regarder K = log3(1+2^y) en 2-adique et vérifier qu'il n'y a pas de séquence incroyablement longue de 0 dedans (enfin... c'est juste une reformulation du problème je pense)

[ffpower]

Bon je viens de résoudre l'équation 3^z=1+2^x+2^y :
Si 3^z=1+2^x+2^y, on peut évidemment supposer z>0. En réduisant modulo 3 on obtient 0=1+(-1)^x+(-1)^y mod 3, ce qui n'est pas possible.. :)

[Doraki]

Mince alors, j'étais pourtant sûr que 81 existait.

[ffpower]

Après ton post, m'a fallu pret de 10 minutes pour trouver le bug XD
Bon bah je retire ce que j'ai dit :stupid_in