Somme et limite d'une suite

[boudik]

j'ai fais un exercice mais je ne suis pas sure de mon résultat quelqu'un peut il me dire si j'ai bon?

soit Sn = 1+1/2+1/4+1/8+...+(1/2)^n

a)exprimer Sn en fonction de n
b)calculer la limite de Sn

Donc moi j'ai fais :

a) un est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 0.5

Sn=1x[(1-0.5^n+1)/(1-0.5)]
=(1-0.5^n+1)/(1-0.5)

b) 0
merci de me corriger!

[nodgim]

Sn = 1+1/2+1/4+1/8+...+(1/2)^n


Sn=(1-0.5^n+1)/(1-0.5)

b) 0<q<1 car q=0.5 donc lim un = 0

merci de me corriger!

Ton Sn, il faudrait tout de même l'écrire un peu plus simplement, notamment le dénominateur. C'est mieux aussi d'écrire 1/2 plutôt que 0.5

Tu donnes 0 comme limite, alors que tu n'as que des valeurs positives dans la somme!

[boudik]

ha oui donc Sn=[1-(1/2)^n+1]/(1/2)

mais pour la limite ma propriété n'est pas bonne? pour une suite géométrique on n'a pas si 0

[SimonB]

ha oui donc Sn=[1-(1/2)^n+1]/(1/2)

C'est ça, et tu peux l'écrire encore plus simplement.

mais pour la limite ma propriété n'est pas bonne? pour une suite géométrique on n'a pas si 0<q<1 alors la limite de un est égale à 0.

Si, mais tu confonds la limite de la suite et de la somme de la suite (ta suite Sn n'est pas la suite géométrique mais la somme de ses termes).

D'après l'expression trouvée juste avant, tu peux déterminer la limite "à vue" (en tenant compte de la remarque que tu viens de faire d'ailleurs !).

[nodgim]

ha oui donc Sn=[1-(1/2)^n+1]/(1/2)

mais pour la limite ma propriété n'est pas bonne? pour une suite géométrique on n'a pas si 0<q<1 alors la limite de un est égale à 0.

Réfléchis. Quel est le terme qui varie ? vers quelle valeur son terme tend t il quand n tend vers l'infini ?

[boudik]

donc encore plus simplement j'ai fais:
Sn=(3/2)-(1/2)^n/(1/2)


mais comment fait on pour calculer la limite d'une somme??
car il ne faut pas que je la devine à vue mais bien que je la calcule!

[nodgim]

donc encore plus simplement j'ai fais:
Sn=(3/2)-(1/2)^n/(1/2)


mais comment fait on pour calculer la limite d'une somme??
car il ne faut pas que je la devine à vue mais bien que je la calcule!

Attention ta nouvelle simplification n'est pas bonne. Reviens à celle d'avant.
Maintenant, cette expression te donne justement la valeur de la somme, c'est donc par cette expression qu'il te faut chercher la solution. Essaye de répondre à la question que je t'ai posée précédemment

[SimonB]

donc encore plus simplement j'ai fais:
Sn=(3/2)-(1/2)^n/(1/2)

Non, cette expression est fausse. Je suppose que tu as dit que 1-(1/2)^(n+1)=3/2-(1/2)^n ? Mais c'est faux ! je rappelle que (1/2)^(n+1)=(1/2)^n * (1/2)...

Quand je voulais dire que tu pouvais simplifier l'expression, c'est juste simplifier le dénominateur. En effet, à quoi revient une division par 1/2 ?

mais comment fait on pour calculer la limite d'une somme??
car il ne faut pas que je la devine à vue mais bien que je la calcule!

La question d'avant t'a permis d'exprimer cette somme comme une suite réelle, exprimée simplement en fonction de n : tu as écris toi-même Sn=[une expression]. Travaille sur cette nouvelle expression simple et étudie sa limite.

En général, une question intermédiaire a de grandes chances de servir dans les questions d'après !

[boudik]

ok d'accord
donc
lim 1/0.5 = 2
lim (1/2^n+1)/(1/2)=0

mais lim (1-(1/2)^n+1)/(1/2) =?

là est ce que je suis sur la bonne voie?

[nodgim]

ok d'accord
lim (1/2)^n+1=

Celle là c'est quoi, qd n tend vers l'oo ?

[SimonB]

là est ce que je suis sur la bonne voie?

Oui !

Cas plus général : si tend vers L et vers M, vers quoi tend ?

Et après : à quoi ce que je viens de dire peut-il bien servir ? :we:

[boudik]

donc lim (1/2)^n+1=1
lim 1/1/2=2

donc lim Sn=2

là c'est bon??

[nodgim]

donc lim (1/2)^n+1=1
lim 1/1/2=2

donc lim Sn=2

là c'est bon??

Lim (1/2)^n=0
Donc 1-0=1 et 1/1/2=2

[boudik]

Donc lim Sn=0

car lim 1/(1/2)- lim(1/2)^n+1/(1/2) = 2-1/(1/2) = 0

[SimonB]

Donc lim Sn=0

car lim 1/(1/2)- lim(1/2)^n+1/(1/2) = 2-1/(1/2) = 0

On t'a déjà dit que la limite de Sn ne pouvait pas être nulle : Sn est une somme de termes tous positifs et est donc plus grande que son premier terme, qui se trouve être 1 !

Un peu d'analyse de ses propres réponses pour voir si elles ne sont pas totalement absurdes est toujours bénéfique en maths (et ailleurs !).

Reprenons : nodgim t'a déjà dit que lim (1/2)^n=0 (tu le savais d'ailleurs puisque c'est une suite géométrique de raison strictement plus petite que 1).

Que dire de lim(1/2)^(n+1) ?