Trouver a et b par identification

[dobby]

Bonjour, j'ai un problème avec une question :
Déterminer deux réels a et b (par identification) tels que :
pour tout k appartenant à l'ensemble N :

1/[(k+1)(k+3)] = a/(k+1) + b/(k+3)

Si quelqu'un peut m'aider.

Merci d'avance

[le_fabien]

Bonjour, j'ai un problème avec une question :
Déterminer deux réels a et b (par identification) tels que :
pour tout k appartenant à l'ensemble N :

1/[(k+1)(k+3)] = a/(k+1) + b/(k+3)

Si quelqu'un peut m'aider.

Merci d'avance

Bonjour,
Il faut réduire au même dénominateur le membre de droite et après identifier.

[dobby]

Je trouve : [k(a+b)+3a+b] / [(k+1)(k+3)] mais je ne vois pas comment je peux identifier... il faudrait que k(a+b)+3a+b = 1 ?

[Zweig]

Salut,

Tu peux faire ça par identification comme tu étais entrain de faire, ou bien de cette manière

On veut trouver A et B tels que



En multipliant l'égalité par , on obtient :



On prenant , on obtient :

En multipliant l'égalité de départ par , on obtient :



En prenant , on obtient :

Finalement,

[dobby]

ok merci, j'ai trouvé la même chose par identification

j'ai encore un autre problème ... :mur:
après on me demande d'en déduire la somme pour k allant de 0 à n de :
1 / [(k+1)(k+3)]
c'est à dire la somme pour k allant de 0 à n de : 1/(2k+2) - 1/(2k+6) (comme démontré précedemment) mais après je ne vois pas comment je peux calculer cette somme pour arriver à un résultat...

[dobby]

Personne n'a une idée ? Car je suis toujours bloqué comme hier ... :briques:

[Imod]

As-tu essayé d'écrire les premiers termes de ta somme ?

Imod

[MathMoiCa]

Plop,

Salut,

Tu peux faire ça par identification comme tu étais entrain de faire, ou bien de cette manière

On veut trouver A et B tels que



En multipliant l'égalité par , on obtient :



On prenant , on obtient :

En multipliant l'égalité de départ par , on obtient :



En prenant , on obtient :

Finalement,

Pour simplifier, il est plus rapide et plus direct de multiplier directement par (k+1)(k+3) et de prendre k=-3, puis k=-1. :id:


M.

[dobby]

Quand je calcule pour n=1 je trouve 1/8 en réponse mais je suis pas trop sûr de moi... et j'arrive pas à voir comment ce cas là me permettrait de trouver le cas général pour tout n ...

[Imod]

Il me semble que pour n>0 et après simplification il ne reste que 4 termes dans la somme .

Imod

[dobby]

Là, j'ai un peu de mal à suivre ... :triste:

[Zweig]

Que remarques-tu sur les premiers termes ? Généralise ça aux termes suivants et déduis ce qui reste au final dans cette somme.