Endomorphisme

[MacManus]

Bonjour

L'exercice comporte 3 questions. Je vous donne l'énoncé ainsi que la 1ère question :

Soit E un espace euclidien et soient u,v 2 vecteurs non nuls de E. Soit f une application linéaire et continue de E, définie pour tout x de E par :
f(x) = x + v (où désigne le produit scalaire)

Question 1

On suppose que f est un endomorphisme symétrique.

Montrer alors que ,
(on pourra calculer )

En déduire que u et v sont liés.

On a :

(puisque f = f* car f endo. sym.)


donc les 2 égalités donnent :


Est-ce une bonne piste ??

Merci beaucoup pour votre aide!

[nonam]

oui c'est une bonne piste. Tu es d'ailleurs à deux doigts du résultat :
puisque <v,u> = u>...

[MacManus]

oui c'est une bonne piste. Tu es d'ailleurs à deux doigts du résultat :
puisque v,u> = u>...

Je suis d'accord on retrouve le résultat demandé. Mais justement pourquoi cette dernière égalité ? comment justifier ? il suffit juste d'échanger x et v ? Merci à toi

[jeje56]

Slt,
Tout simplement en sortant les produits scalaires qui sont des constantes (pour x fixé...) devant...

Pour x fixé :
=

;-)

[MacManus]

oui c'est simple en effet!

pour la dépendance linéaire des vecteurs je peux utiliser Cauchy-Schwartz (cas de l'égalité) ?
cad :

[nonam]

oui, c'est ce que j'aurais fait aussi, utiliser Cauchy-Schwartz.

[MacManus]

merci à vous deux. Je posterai la suite des questions si je rencontre des problèmes.

[jeje56]

De rien.
Je ne vois pas comment en déduire Cauchy-Schwartz pour montrer l'indépendance...

Merci :-)

[nonam]

En particularisant la première égalité avec v, on obtient l'égalité de Cauchy-Schwarz, qui implique que les deux vecteurs sont liés.

[jeje56]

C'était tout simple... Merci bien ;-)

[nonam]

de rien :lol3:

[MacManus]

Je suis de retour !

Soit E un espace euclidien et soient u,v 2 vecteurs non nuls de E. Soit f une application linéaire et continue de E, définie pour tout x de E par :
f(x) = x + v (où désigne le produit scalaire)

Question 1

On suppose que f est un endomorphisme symétrique.

Montrer alors que ,
(on pourra calculer )

En déduire que u et v sont liés.

OK pour cette question

Question 2 (Réciproque)

On suppose désormais que (où ) et ( U )

Montrer que f est alors un endomorphisme symétrique.

Pour quelle valeur de f est-il diagonalisable ?

Je dois donc montrer, pour que f soit symétrique, que l'on a : c'est à dire
après calculs, on remarque qu'il y a bien égalité.

Comment puis-je exprimer le critère de diagonalisation de f à l'aide de ??

Merci beaucoup pour votre aide.

[nonam]

puisque symétrique => diagonalisable, je ne pense pas qu'il y ait besoin de critère de diagonalisation en fonction de . Il reste juste à traiter le cas .
Par contre, je n'ai pas compris pourquoi tu t'es contenté de montrer = . Est-ce suffisant pour montrer que f est symétrique ?

[MacManus]

Je suis d'accord, si E est un espace vectoriel euclidien, alors si un endomorphisme f de E (linéaire et continu) est symétrique, alors f est diagonalisable dans une base orthonormale de vecteurs propres.

Je ne pense pas qu'il faille étudier le cas , puisqu'on sait dès le départ que .

Par définition, f est symétrique ssi pour tout x,y E, = . Y-a-t-il un autre moyen pour exprimer le fait que f soit symétrique ...?

Mais je ne parviens toujours pas à trouver les valeurs de pour lesquelles f est diagonalisable... Je ne parviens pas à écrire de relation...

Merci beaucoup de bien vouloir prendre le temps de m'aider!

[nonam]

Par définition, f est symétrique ssi pour tout x,y E, = . Y-a-t-il un autre moyen pour exprimer le fait que f soit symétrique ...?

Je suis d'accord. En fait ce qui me posait problème c'est que j'avais compris que tu avais seulement montré : = .
Pour la suite, je ne vois pas ce qui te poses problème. Tu as montré que si , f était symétrique. Et comme tout endomorphisme symétrique est diagonalisable, f est diagonalisable. Donc la réponse à la deuxième question est : pour tout .

[MacManus]

Merci nonam pour ton aide et je me rends compte de mon erreur stupide !!!!

est soit > 0, soit < 0 dans l'exercice

[...]

[nonam]

De rien. N'hésites pas si tu as encore un soucis :)

[MacManus]

Merci c'est gentil nonam !

Eh bien mon dernier soucis ne tarde pas. Je dois donner une condition nécessaire et suffisante (une équivalence donc) sur (il n'y en a que pour lui décidément) pour que f soit orthogonal (on me dit de plus que je peux calculer ).

je sais cette fois-ci que f est orthogonal ssi f* = et :

je peux au passage affirmer que f est une isométrie non ?

Je n'arrive pas à aboutir dans mon calcul de avec les mêmes conditions sur u et v.

[MacManus]

Lorsque je développe mon calcul, je vois finalment que f est un endomorphisme orthogonal ssi , c'est correct ?

cas particulier pour d'ailleurs puisqu'il est par définition strictement positif ou strictement négatif !

Voilà l'idée que j'ai pour le moment

Merci

[nonam]

J'ai trouvé que f est un orthogonal ssi ou . Je vais vérifier !