Polynomes

par **ptit_andrea65** » 26 Mar 2008, 18:30

Bonjour je bloque sur une question pourriez vous m'aider svp :

<< En comptant les racines de P'(avec multiplicité), justifier que pour tout i E [1;k-1] , l'intervalle ]ri;ri+1[ contient une et une seule racine de P', et que cette racine est simple >>

P est dans R[X] je sais d'après le theoreme de Rolle que ]ri;ri+1[ contient au moins une racine ri' de P' mais je ne sais pas comment exploiter cette information...
D'autre part, je sais que P de multiplicité au plus n donc P' de multiplicité n-1...

par **ptit_andrea65** » 26 Mar 2008, 18:54

aie il n'y a personne :cry:

par **ffpower** » 26 Mar 2008, 18:57

Ben c faux si P(x)=x^4-1 par ex

par **alavacommejetepousse** » 26 Mar 2008, 19:02

bonsoir
sans énoncé précis il ne peut y avoir de réponse

par **ffpower** » 26 Mar 2008, 19:06

Ouais..je pense pouvoir deviner son enoncé,mais il avait qu a s appliquer...Faut pas deconner non plus lol

par **ptit_andrea65** » 26 Mar 2008, 19:34

je suis désolée mais il s'agit bel et bien du bon énoncé dans cette question P E R[X] est un polynome de degré n dont toutes les racines (dans C) sont réelles

par **ffpower** » 26 Mar 2008, 20:13

Ben voila,mais ca tu ne l avais pas dit que les racines sont reelles

par **ptit_andrea65** » 26 Mar 2008, 20:16

C'est vrai..pardonnez moi

par **ptit_andrea65** » 26 Mar 2008, 20:30

en fait je dois d'abord compter les racines de P' avec multiplicité :
si P admet n racines comptées avec multiplicité alors P' admet au plus n-1 racines comptées avec multiplicité

Mais que faire après ?

par **alavacommejetepousse** » 26 Mar 2008, 20:38

appelons x1,...xr les r racines distinctes de P de multiplicité respectives
n1,...,nr

en comptant les xi comme racines (éventuelles ) de P' et en utilisant rolle le compte devrait y être

par **ffpower** » 26 Mar 2008, 20:42

Note ni la multiplicité de ri comme racine de P.Ri est racine de P' de multiplicité ni-1.En comptant de plus les racines de P' qui sont entre les ri,ya plus qu a faire le compte..

par **ptit_andrea65** » 26 Mar 2008, 20:46

Je suis d'accord mais je montre l'existence d'AU MOINS une racine de P' dans ]ri;ri+1[ et non pas D'UNE SEULE !!!!

par **ffpower** » 26 Mar 2008, 20:49

non mais fait le compte de toutes les racines de P' que l on a trouvé(en comptant les multi.) et t obtiendra n-1 donc c qu on les a toutes..

par **ptit_andrea65** » 26 Mar 2008, 21:06

Je ne comprend pas... ou plutot partiellement . Arrétez moi si je me trompe :
en fait 1 on calcule le nombre de racines de P' : on trouve n-1
2 : cela implique donc .. enfin je ne vois pas trop trop je sais que cela implique l'unicité d'une racine entre ]ri;ri+1[ mais je ne saisie pas la transition

par **alavacommejetepousse** » 26 Mar 2008, 21:11

non
chaque xi (i = 1,..r)est racine de P' de multiplicité ni - 1 (éventuellement 0)

le théorème de rolle permet de trouver r-1 racines yi distinctes de P' et distinctes des xi
on a déjà
n1 - 1 + ...+nr - 1 + r - 1 = n- 1 racines de P' on les a donc toutes et les
yi sont forcément simples

par **ffpower** » 26 Mar 2008, 21:14

Bon ok tu m aura fait craché le morceau jusqu au bout donc..P a d racines r1,...,rd de multiplicité n1...nd avec somme des ni=n.
Dans les racines de P' ya
.Les ri de mult. ni-1
.les racines entre les ri,yen a d-1
en comptant tout ca on obtient somme des (ni-1) + d-1=n-1
Donc on a trouvé TOUTES les racines de P',yen a pas d autre

EDIT:Post simultané,ca arrete pas de m arriver en ce moment lol(et a chaque fois je suis le 2eme :cry: )

par **ptit_andrea65** » 26 Mar 2008, 21:35

Merci à vous deux je pense avoir compris !!!!! Bonne soirée :zen:

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