Calcul intégral par la méthode des résidus

par **mehdi-128** » 28 Déc 2007, 12:24

Bonjour,je bloque sur le calcul de cette intégrale:

ou : /a/ différent de 1 ....

Et on me dit:indication:

On pourra calculer le long du cercle unité:

Et déja je vois pas trop comment faire pour l'indication.....

merci d'avance ....

par **trust** » 28 Déc 2007, 13:04

//avec chgt de var en complexe

par **mehdi-128** » 28 Déc 2007, 13:21

trust a écrit: //avec chgt de var en complexe

Franchement j'ai rien compris a ce que tu m'as mis :triste:

par **mehdi-128** » 28 Déc 2007, 13:32

J'ai remarqué que:

donc :

en effectuant le changement de variable:

Et la je bloque .....

par **trust** » 28 Déc 2007, 14:27

bah applique le théorème des résidus dans les calculs d'intégral, cherche le pôle de la fonction méromorphe où la partie imaginaire est positive, calcule le résidu en ce point puis applique la formule que je t'ai donnée...
c'est de l'analyse complexe en fait, un truc chiant mais qui simplifie pas mal de calculs comme ici ==> http://www.maths-forum.com/showthread.php?p=321560#post321560 <==

par **mehdi-128** » 28 Déc 2007, 14:42

trust a écrit:bah applique le théorème des résidus dans les calculs d'intégral, cherche le pôle de la fonction méromorphe où la partie imaginaire est positive, calcule le résidu en ce point puis applique la formule que je t'ai donnée...
c'est de l'analyse complexe en fait, un truc chiant mais qui simplifie pas mal de calculs comme ici ==> http://www.maths-forum.com/showthread.php?p=321560#post321560 <==

Et pourquoi faut-il que la partie imaginaire soit positive ?
J'ai jamais entendu parlé de ça .....
c'est quoi une fonction méromorphe ?

par **mehdi-128** » 28 Déc 2007, 14:45

Sinon ,ici j'ai 3 poles: 0,a et 1/a

mais comment calculer le résidu en 0, a et 1/a ?

par **trust** » 28 Déc 2007, 14:46

t'as bien suivi des cours d'analyse complexe non? pour pouvoir calculer un intégral par la méthode des résidus?

par **mehdi-128** » 28 Déc 2007, 14:51

trust a écrit:t'as bien suivi des cours d'analyse complexe non? pour pouvoir calculer un intégral par la méthode des résidus?

oui mais j'avais des cas simples :Res(p/q,z0)=p(z0)/q'(z0)

avec p et q 2 fonctions holomorphes dans un voisinage de z0 tq z0 soit zéro simple de q(z) et p(z0) different de 0....

par **mehdi-128** » 28 Déc 2007, 15:12

Et déja ,on sait juste que a n'est pas sur le cercle ,mais on ne sait pas s'il est a l'intérieur ou pas donc comment calculer son indice ?

par **trust** » 28 Déc 2007, 15:41

t'as qu'à considérer les 2 cas : si a est dans le cercle, l'indice vaut 1 sinon 0 à l'extérieur...

par **mehdi-128** » 28 Déc 2007, 15:44

trust a écrit:t'as qu'à considérer les 2 cas : si a est dans le cercle, l'indice vaut 1 sinon 0 à l'extérieur...

Ok donc je le considère a l'intérieur:

J'ai :

Je trouve donc:

par **mehdi-128** » 28 Déc 2007, 16:06

trust es-tu d'accord avec moi ?

par **trust** » 28 Déc 2007, 16:32

mouep, ça a l'air juste quoi que si

est dans le cercle,

ne l'est pas et ça me chagrine un peu, donc distingue les 2 cas dans tes solutions.

par **mehdi-128** » 28 Déc 2007, 17:04

trust a écrit:mouep, ça a l'air juste quoi que si est dans le cercle, ne l'est pas et ça me chagrine un peu, donc distingue les 2 cas dans tes solutions.

ah oui j'avais oublié ,quel étourdi !!

par **mehdi-128** » 28 Déc 2007, 17:05

1er cas: si abs(a)1

l'indice de a vaut 1 celui de 1/a vaut 0 j'obtiens:

Pour le 2eme cas j'obtiens la meme chose avec un signe moins ....[/quote]

Ca semble correct ?

par **trust** » 28 Déc 2007, 17:18

détaille un peu pour voir...

par **mehdi-128** » 28 Déc 2007, 17:27

trust a écrit:détaille un peu pour voir...

D'après le théorème des résidus:

pour le 1er cas: si abs(a)1

d'ou :Ind(a)=1 et Ind(1/a)=0

d'après le théorème des résidus:

d'ou:

par **trust** » 28 Déc 2007, 17:29

d'ou vient ce

?

par **mehdi-128** » 28 Déc 2007, 17:49

trust a écrit:d'ou vient ce ?

cos(t) =exp(it)+exp(-it) / 2

et le 2 issu de int [0..Pi]=1/2 . int[C(0,1)] ....

2*2=4 ....

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